如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形。已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2,∠PAB=60°。(Ⅰ)证明:AD⊥平面PAB;(Ⅱ)求异面直线P
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如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形。已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2,∠PAB=60°。(Ⅰ)证明:AD⊥平面PAB;(Ⅱ)求异面直线P
题型:期中题
难度:
来源:
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形。已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2
,∠PAB=60°。
(Ⅰ)证明:AD⊥平面PAB;
(Ⅱ)求异面直线PC与AD所成的角的余弦值;
(Ⅲ)求二面角P-BD-A的余弦值。
答案
(Ⅰ)证明:在△PAD中,由题设
,可得
,
于是AD⊥PA,
在矩形ABCD中,AD⊥AB,
又PA∩AB=A,
所以,AD⊥平面PAB。
(Ⅱ)解:由题设,BC∥AD,所以∠PCB(或其补角)是异面直线PC与AD所成的角,
在△PAB中,由余弦定理得
,
由(Ⅰ)知AD⊥平面PAB,PB
平面PAB,
所以AD⊥PB,因而BC⊥PB,
于是△PBC是直角三角形,
故
,
所以,异面直线PC与AD所成的角的余弦值为
。
(Ⅲ)解:过点P做PH⊥AB于H,过点H做HE⊥BD于E,连结PE,
因为AD⊥平面PAB,PH
平面PAB,
所以AD⊥PH,
又AD∩AB=A,
因而PH⊥平面ABCD,
故HE为PE在平面ABCD内的射影,
由三垂线定理可知, BD⊥PE,
从而∠PEH是二面角P-BD-A的平面角。
由题设,可得
于是在Rt△PHE中,
,所以二面角P-BD-A的余弦值为
。
举一反三
如图,在正方形AS
1
S
2
S
3
中,E、F分别是边S
1
S
2
、S
2
S
3
的中点,D是EF的中点,沿AE、EF、AF把这个正方形折成一个几何体,使三点 S
1
、S
2
、S
3
重合于一点S,
下面有5个结论:①AS⊥平面SEF;②AD⊥平面SEF;③SF⊥平面AEF;④EF⊥平面SAD;
⑤SD⊥平面AEF;⑥AS⊥EF。
其中正确的是( )。(填上所有正确结论的序号)
题型:0112 期中题
难度:
|
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如图,直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中, AB=1,AC=AA
1
=
,∠ABC=60°。
(Ⅰ)证明:AB⊥A
1
C;
(Ⅱ)求二面角A-A
1
C-B的大小。
题型:0112 期中题
难度:
|
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如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为
a
的正方形,且 PD=
a
,PA=PC=
a
。
(1)求证:PD⊥平面ABCD;
(2)求二面角A-PB-D的平面角的大小。
题型:0107 期中题
难度:
|
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[ ]
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B、若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β
C、若m∥α,m∥β,则α∥β
D、若m⊥α,n⊥α,则m∥n
题型:期末题
难度:
|
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(Ⅰ)求证:BC⊥平面ACD;
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题型:0113 期末题
难度:
|
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