已知二次函数y=﹣x2+bx+c的对称轴为x=2,且经过原点,直线AC解析式为y=kx+4,(1)求二次函数解析式;(2)若=,求k;(3)若以BC为直径的圆经

已知二次函数y=﹣x2+bx+c的对称轴为x=2,且经过原点,直线AC解析式为y=kx+4,(1)求二次函数解析式;(2)若=,求k;(3)若以BC为直径的圆经

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已知二次函数y=﹣x2+bx+c的对称轴为x=2,且经过原点,直线AC解析式为y=kx+4,
(1)求二次函数解析式;
(2)若=,求k;
(3)若以BC为直径的圆经过原点,求k.

答案
(1)二次函数解析式:y=﹣x2+4x.
(2)k=﹣1.
(3)k=﹣
解析

试题分析:(1)根据对称轴为x==2,且函数过(0,0),则可得出b,c,从而得到函数解析式.
(2)=,而且这两个三角形为同高不同底的三角形,易得=,考虑计算方便可作B,C对x轴的垂线,进而有B,C横坐标的比为=.由B,C为直线与二次函数的交点,则联立可求得B,C坐标.由上述倍数关系,则k易得.
(3)以BC为直径的圆经过原点,易得∠BOC=90°,由(2)可发现B,C横纵坐标恰好可表示出EB,EO,OF,OC.而由∠BOC=90°,易证△EBO∽△FOC,即EB•FC=EO•FO.由此构造方程即可得k值.
试题解析: (1)∵二次函数y=﹣x2+bx+c的对称轴为x=2,且经过原点,
∴﹣=2,0=0+0+c,
∴b=4,c=0,
∴y=﹣x2+4x.
(2)如图1,连接OB,OC,过点B作BE⊥y轴于E,过点C作CF⊥y轴于F,

=
=
=
∵EB//FC,
==
∵y=kx+4交y=﹣x2+4x于B,C,
∴kx+4=﹣x2+4x,即x2+(k﹣4)x+4=0,
∴△=(k﹣4)2﹣4•4=k2﹣8k,
∴x=,或x=
∵xB<xC
∴EB=xB=,FC=xC=
∴4•=
解得 k=9(交点不在y轴右边,不符题意,舍去)或k=﹣1.
∴k=﹣1.
(3)∵∠BOC=90°,
∴∠EOB+∠FOC=90°,
∵∠EOB+∠EBO=90°,
∴∠EBO=∠FOC,
∵∠BEO=∠OFC=90°,
∴△EBO∽△FOC,

∴EB•FC=EO•FO.
∵xB=,xC=,且B、C过y=kx+4,
∴yB=k•+4,yC=k•+4,
∴EO=yB=k•+4,OF=﹣yC=﹣k•﹣4,
=(k•+4)•(﹣k•﹣4),
整理得 16k=﹣20,
∴k=﹣
举一反三
将二次函数y=2x2﹣1的图象沿y轴向上平移2个单位,所得图象对应的函数表达式为        
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用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场,设围成的矩形一边长为x米,面积为y平方米.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)当x为何值时,围成的养鸡场面积为60平方米?
(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场?如果能,请求出其边长;如果不能,请说明理由.
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如图1,矩形OABC顶点B的坐标为(8,3),定点D的坐标为(12,0),动点P从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动,动点Q从点D出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动,PQ两点同时运动,相遇时停止.在运动过程中,以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR.设运动时间为t秒.
(1)当t=    时,△PQR的边QR经过点B;
(2)设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S,求S关于t的函数关系式;
(3)如图2,过定点E(5,0)作EF⊥BC,垂足为F,当△PQR的顶点R落在矩形OABC的内部时,过点R作x轴、y轴的平行线,分别交EF、BC于点M、N,若∠MAN=45°,求t的值.

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已知反比例函数y=的图象如图,则二次函数y=2kx2﹣4x+k2的图象大致为(  )
A.B.C.D.

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如图1,边长为4的正方形ABCD中,点E在AB边上(不与点A,B重合),点F在BC边上(不与点B,C重合).
第一次操作:将线段EF绕点F顺时针旋转,当点E落在正方形上时,记为点G;
第二次操作:将线段FG绕点G顺时针旋转,当点F落在正方形上时,记为点H;
依次操作下去…
(1)图2中的△EFD是经过两次操作后得到的,其形状为   ,求此时线段EF的长;
(2)若经过三次操作可得到四边形EFGH.
①请判断四边形EFGH的形状为   ,此时AE与BF的数量关系是   
②以①中的结论为前提,设AE的长为x,四边形EFGH的面积为y,求y与x的函数关系式及面积y的取值范围;
(3)若经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形,其最大边数是多少?它可能是正多边形吗?如果是,请直接写出其边长;如果不是,请说明理由.

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