如图,在△ABC中,∠BAC=90°, BC∥x轴,抛物线y=ax2-2ax+3经过△ABC的三个顶点,并且与x轴交于点D、E,点A为抛物线的顶点.(1)求抛物
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如图,在△ABC中,∠BAC=90°, BC∥x轴,抛物线y=ax2-2ax+3经过△ABC的三个顶点,并且与x轴交于点D、E,点A为抛物线的顶点.(1)求抛物
题型:不详
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如图,在△ABC中,∠BAC=90°, BC∥x轴,抛物线y=ax
2
-2ax+3经过△ABC的三个顶点,并且与x轴交于点D、E,点A为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)连接CD,在抛物线的对称轴上是否存在一点P使△PCD为直角三角形,若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)y=-x
2
+2x+3;(2)P
1
(1,4) P
2
(1,-2)
.
解析
试题分析:(1)根据题意知点B的坐标为(0,3)抛物线的对称轴方程为x=1,所以A点坐标为(1,4),C点坐标为(2,3),由此可求抛物线的解析式.
(2)分两种情况:CD为直角边,CD为斜边进行讨论,由勾股定理得到方程即可求出P点坐标.
试题解析:(1)∵y=ax
2
-2ax+3
∴它的对称轴为直线x=
令x=0,则y=3,
∴B(0,3)
根据抛物线的对称性知:C(2,3),A(1,4)
把A(1,4)代入y=ax
2
-2ax+3,得:a=-1
∴抛物线的解析式为:y=-x
2
+2x+3;
(2)存在.分两种情况:
(1)当CD为直角边时,设P(1,a):
i)当点P在x轴上方时,DP=
,CP=
,
,
∵CD
2
+CA
2
=AD
2
∴18+2=4+a
2
即:a
2
=16
解得a=±4(负舍去)
∴a=4
ii)当点P在x轴下方时,CD
2
+DP
2
=CP
2
∴
解得:a=-2
(2)当CD为斜边时,同理可以得出:a=
综上所述,点P的坐标分别为:P
1
(1,4) P
2
(1,-2)
举一反三
如图1,在平面直角坐标系中,点A、C分别在y轴和x轴上,AB∥x轴,sinC=
,点P从O点出发,沿边OA、AB、BC匀速运动,点Q从点C出发,以1cm/s的速度沿边CO匀速运动。点P与点Q同时出发,其中一点到达终点,另一点也随之停止运动.设点P运动的时间为t(s),△CPQ的面积为S(cm
2
), 已知S与t之间的函数关系如图2中曲线段OE、线段EF与曲线段FG给出.
(1)点P的运动速度为
cm/s, 点B、C的坐标分别为
,
;
(2)求曲线FG段的函数解析式;
(3)当t为何值时,△CPQ的面积是四边形OABC的面积的
?
题型:不详
难度:
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如图在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,AB=2,D是AB边上的一个动点(不与点A、B重合),过点D作CD的垂线交射线CA于点E.设AD=x,CE=y,则下列图象中,能表示y与x的函数关系图象大致是( )
题型:不详
难度:
|
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如图,抛物线y=ax
2
+ bx + c 交x轴于A、B两点,交y轴于点C,对称轴为直线x=1,已知:A(-1,0)、C(0,-3)。
(1)求抛物线y= ax
2
+ bx + c 的解析式;
(2)求△AOC和△BOC的面积比;
(3)在对称轴上是否存在一个P点,使△PAC的周长最小。若存在,请你求出点P的坐标;若不存在,请你说明理由。
题型:不详
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抛物线
与
轴交于点A,B,与y轴交于点C,其中点B的坐标为
.
(1)求抛物线对应的函数表达式;]
(2)将(1)中的抛物线沿对称轴向上平移,使其顶点M落在线段BC上,记该抛物线为G,求抛物线G所对应的函数表达式;
(3)将线段BC平移得到线段
(B的对应点为
,C的对应点为
),使其经过(2)中所得抛物线G的顶点M,且与抛物线G另有一个交点N,求点
到直线
的距离
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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定义1:在△ABC中,若顶点A,B,C按逆时针方向排列,则规定它的面积为“有向面积”;若顶点A,B,C按顺时针方向排列,则规定它的面积的相反数为△ABC的“有向面积”.“有向面积”用
表示,例如图1中,
,图2中,
.
定义2:在平面内任取一个△ABC和点P(点P不在△ABC的三边所在直线上),称有序数组(
,
,
)为点P关于△ABC的“面积坐标”,记作
,例如图3中,菱形ABCD的边长为2,
,则
,点G关于△ABC的“面积坐标”
为
.在图3中,我们知道
,利用“有向面积”,我们也可以把上式表示为:
.
应用新知:
(1)如图4,正方形ABCD的边长为1,则
,点D关于△ABC的“面积坐标”是
;探究发现:
(2)在平面直角坐标系
中,点
,
①若点P是第二象限内任意一点(不在直线AB上),设点P关于
的“面积坐标”为
,
试探究
与
之间有怎样的数量关系,并说明理由;
②若点
是第四象限内任意一点,请直接写出点P关于
的“面积坐标”(用x,y表示);
解决问题:
(3)在(2)的条件下,点
,点Q在抛物线
上,求当
的值最小时,点Q的横坐标.
题型:不详
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