如图,抛物线y=ax2 + bx + c 交x轴于A、B两点,交y轴于点C,对称轴为直线x=1,已知:A(-1,0)、C(0,-3)。(1)求抛物线y= ax2
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如图,抛物线y=ax2 + bx + c 交x轴于A、B两点,交y轴于点C,对称轴为直线x=1,已知:A(-1,0)、C(0,-3)。(1)求抛物线y= ax2
题型:不详
难度:
来源:
如图,抛物线y=ax
2
+ bx + c 交x轴于A、B两点,交y轴于点C,对称轴为直线x=1,已知:A(-1,0)、C(0,-3)。
(1)求抛物线y= ax
2
+ bx + c 的解析式;
(2)求△AOC和△BOC的面积比;
(3)在对称轴上是否存在一个P点,使△PAC的周长最小。若存在,请你求出点P的坐标;若不存在,请你说明理由。
答案
(1)y=x
2
-2x-3.(2)1:3;(3)存在,(1,-2).
解析
试题分析:(1)根据抛物线的对称轴即可得出点B的坐标,然后将A、B、C三点坐标代入抛物线中即可求得二次函数的解析式.
(2)由于两三角形等高,那么面积比就等于底边的比,据此求解即可.
(3)本题的关键是确定P点的位置,根据轴对称图形的性质和两点间线段最短,可找出C点关于抛物线对称轴的对称点,然后连接此点和A,那么这条直线与抛物线对称轴的交点就是所求的P点.可先求出这条直线的解析式然后联立抛物线对称轴的解析式即可求得P点坐标.
试题解析::(1)∵A,B两点关于x=1对称,
∴B点坐标为(3,0),
根据题意得:
,
解得a=1,b=-2,c=-3.
∴抛物线的解析式为y=x
2
-2x-3.
(2)△AOC和△BOC的面积分别为S△AOC="1" 2 |OA|•|OC|,S△BOC="1" 2 |OB|•|OC|,
而|OA|=1,|OB|=3,
∴S
△AOC
:S
△BOC
=|OA|:|OB|=1:3.
(3)存在一个点P.C点关于x=1对称点坐标C"为(2,-3),
令直线AC"的解析式为y=kx+b
∴
,
∴k=-1,b=-1,即AC"的解析式为y=-x-1.
为x=1时,y=-2,
∴P点坐标为(1,-2).
举一反三
抛物线
与
轴交于点A,B,与y轴交于点C,其中点B的坐标为
.
(1)求抛物线对应的函数表达式;]
(2)将(1)中的抛物线沿对称轴向上平移,使其顶点M落在线段BC上,记该抛物线为G,求抛物线G所对应的函数表达式;
(3)将线段BC平移得到线段
(B的对应点为
,C的对应点为
),使其经过(2)中所得抛物线G的顶点M,且与抛物线G另有一个交点N,求点
到直线
的距离
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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定义1:在△ABC中,若顶点A,B,C按逆时针方向排列,则规定它的面积为“有向面积”;若顶点A,B,C按顺时针方向排列,则规定它的面积的相反数为△ABC的“有向面积”.“有向面积”用
表示,例如图1中,
,图2中,
.
定义2:在平面内任取一个△ABC和点P(点P不在△ABC的三边所在直线上),称有序数组(
,
,
)为点P关于△ABC的“面积坐标”,记作
,例如图3中,菱形ABCD的边长为2,
,则
,点G关于△ABC的“面积坐标”
为
.在图3中,我们知道
,利用“有向面积”,我们也可以把上式表示为:
.
应用新知:
(1)如图4,正方形ABCD的边长为1,则
,点D关于△ABC的“面积坐标”是
;探究发现:
(2)在平面直角坐标系
中,点
,
①若点P是第二象限内任意一点(不在直线AB上),设点P关于
的“面积坐标”为
,
试探究
与
之间有怎样的数量关系,并说明理由;
②若点
是第四象限内任意一点,请直接写出点P关于
的“面积坐标”(用x,y表示);
解决问题:
(3)在(2)的条件下,点
,点Q在抛物线
上,求当
的值最小时,点Q的横坐标.
题型:不详
难度:
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如图,已知二次函数
(a≠0)的图象经过点A,点B.
(1)求二次函数的表达式;
(2)若反比例函数
(x>0)的图象与二次函数
(a≠0)的图象在第一象限内交于点
,
落在两个相邻的正整数之间,请你直接写出这两个相邻的正整数;
(3)若反比例函数
(x>0,k>0)的图象与二次函数
(a≠0)的图象在第一象限内交于点
,且
,试求实数k的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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将抛物线y=x
2
+1先向左平移2个单位,再向下平移3个单位,那么所得抛物线的函数关系式是
题型:不详
难度:
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如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(-3,0)、(0,4),抛物线y=
x
2
+bx+c经过点B,且顶点在直线x=
上.
(1)求抛物线对应的函数关系式;
(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE,点A、B、O的对应点分别是D、C、E,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,连接BD,已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小,求出P点的坐标;
(4)在(2)、(3)的条件下,若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合),过点M作MN∥BD交x轴于点N,连接PM、PN,设OM的长为t,△PMN的面积为S,求S和t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围,S是否存在最大值?若存在,求出最大值和此时M点的坐标;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
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