试题分析:(1)要求定点的坐标,只需寻找一个合适x,使得y的值与k无关即可. (2)只需联立两函数的解析式,就可求出点A、B的坐标.设出点P的横坐标为a,运用割补法用a的代数式表示△APB的面积,然后根据条件建立关于a的方程,从而求出a的值,进而求出点P的坐标. (3)设点A、B、D的横坐标分别为m、n、t,从条件∠ADB=90°出发,可构造k型相似,从而得到m、n、t的等量关系,然后利用根与系数的关系就可以求出t,从而求出点D的坐标.由于直线AB上有一个定点C,容易得到DC长就是点D到AB的最大距离,只需构建直角三角形,利用勾股定理即可解决问题. 试题解析:(1)∵当x=-2时,, ∴直线AB:y=kx+2k+4必经过定点(-2,4). ∴点C的坐标为(-2,4). (2)∵, ∴直线AB的解析式为. 联立 ,解得: 或. ∴点A的坐标为(-3,),点B的坐标为(2,2). 如答图1,过点P作PQ∥y轴,交AB于点Q,过点A作AM⊥PQ,垂足为M,过点B作BN⊥PQ,垂足为N. 设点P的横坐标为a,则点Q的横坐标为a. ∴. ∵点P在直线AB下方,∴. ∵, ∴, 整理得:,解得:. 当时,.此时点P的坐标为(-2,2). 当a=1时,.此时点P的坐标为(1, ). ∴符合要求的点P的坐标为(-2,2)或(1, ).
(3)如答图2,过点D作x轴的平行线EF,作AE⊥EF,垂足为E,作BF⊥EF,垂足为F. ∵AE⊥EF,BF⊥EF,∴∠AED=∠BFD=90°. ∵∠ADB=90°,∴∠ADE=90°-∠BDF=∠DBF. ∵∠AED=∠BFD,∠ADE=∠DBF,∴△AED∽△DFB.∴. 设点A、B、D的横坐标分别为m、n、t, 则点A、B、D的纵坐标分别为, ∴. ∴,化简得:. ∵点A、B是直线AB:与抛物线交点, ∴m、n是方程即两根.∴. ∴,即,即. ∴(舍). ∴定点D的坐标为(2,2). 如答图3,过点D作x轴的平行线DG, 过点C作CG⊥DG,垂足为G, ∵点C(-2,4),点D(2,2),∴CG=4-2=2,DG=2-(-2)=4. ∵CG⊥DG,∴. 过点D作DH⊥AB,垂足为H,如答图3所示, ∴DH≤DC.∴DH≤. ∴当DH与DC重合即DC⊥AB时, 点D到直线AB的距离最大,最大值为 . ∴点D到直线AB的最大距离为.
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