如图,矩形ABCD中,AB=20,BC=10,点P为AB边上一动点,DP交AC于点Q.(1)求证:△APQ∽△CDQ; (2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单

如图,矩形ABCD中,AB=20,BC=10,点P为AB边上一动点,DP交AC于点Q.(1)求证:△APQ∽△CDQ; (2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单

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如图,矩形ABCD中,AB=20,BC=10,点P为AB边上一动点,DP交AC于点Q.
(1)求证:△APQ∽△CDQ;
(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位的速度向B点移动,移动时间为t秒.
①当t为何值时,DP⊥AC?
②设,写出y与t之间的函数解析式,并探究P点运动到第几秒到第几秒之间时,y取得最小值.

答案
(1)证明见解析;(2)①5;②,8-9.
解析

试题分析:(1)如图,由矩形的性质求出∠1=∠2,∠3=∠4即可证明△APQ∽△CDQ.
(2)①当DP⊥AC时,由△ADC∽△PAD列比例式可求解.
②根据相似,求出两个三角形的高(用t的代数式表示),即可求出y与t之间的函数解析式;列表求出函数值得出P点运动到第8秒到第9秒之间时,y取得最小值.
试题解析:(1)如图,∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD. ∴∠1=∠2,∠3=∠4.
∴△APQ∽△CDQ.

(2)①当DP⊥AC时,∴∠4+∠2=90 o.
又∵∠5+∠2=90 o,∴∠4=∠5.
又∵∠ADC=∠DAP=90 o,∴△ADC∽△PAD.∴,即.∴PA=5.
∵P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位的速度向B点移动,∴t=5.
②设△APQ的边AP上的高为h,则△DCQ的边上的高为.
∵由(1)△APQ∽△CDQ,∴.∴.∴.
.
.
∴y与t之间的函数解析式为.
给出t的部分取值,计算出y的对应值列表如下:
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
100
95.48
91.88
88.91
86.67
85
83.85
83.15
82.86
82.93
83.33
t
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
 
y
84.03
85
86.21
87.65
89.29
93.11
95.26
97.56
100
 
 
 
从表中可看出:
时;y随t的值的增大而减小;当时;y随t的值的增大而增大.
∴P点运动到第8秒到第9秒之间时,y取得最小值.
举一反三
“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若m、n(m<n)是关于x的方程的两根,且a < b, 则a、b、m、n 的大小关系是(   ) 
A.m < a < b< nB.a < m < n < bC.a < m < b< nD.m < a < n < b

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如图,抛物线与x轴交于A(5,0)、B(-1,0)两点,过点A作直线AC⊥x轴,交直线于点C;
(1)求该抛物线的解析式;
(2)求点A关于直线的对称点的坐标,判定点是否在抛物线上,并说明理由;
(3)点P是抛物线上一动点,过点P作y轴的平行线,交线段于点M,是否存在这样的点P,使四边形PACM是平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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将二次函数化为的形式,结果为(  )
A.B.
C.D.

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在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),设AB=xm.
(1)若花园的面积为192m2,  求x的值;
(2)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15m和6m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),求花园面积S的最大值.

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如图,已知抛物线为常数,且)与轴从左至右依次交于A,B两点,与轴交于点C,经过点B的直线与抛物线的另一交点为D.
(1)若点D的横坐标为-5,求抛物线的函数表达式;
(2)若在第一象限的抛物线上有点P,使得以A,B,P为顶点的三角形与△ABC相似,求的值;
(3)在(1)的条件下,设F为线段BD上一点(不含端点),连接AF,一动点M从点A出发,沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止. 当点F的坐标是多少时,点M在整个运动过程中用时最少?

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