如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点O为坐标原点,点D为抛物线的顶点,点E在抛物线上,点F在x轴上,四边形OCEF为矩形,且
题型:不详难度:来源:
如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点O为坐标原点,点D为抛物线的顶点,点E在抛物线上,点F在x轴上,四边形OCEF为矩形,且OF=2,EF=3, (1)求抛物线所对应的函数解析式; (2)求△ABD的面积; (3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°,点A对应点为点G,问点G是否在该抛物线上?请说明理由.
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答案
(1)y=-x2+2x+3;(2)8;(3)点G不在该抛物线上. |
解析
试题分析:(1)在矩形OCEF中,已知OF、EF的长,先表示出C、E的坐标,然后利用待定系数法确定该函数的解析式. (2)根据(1)的函数解析式求出A、B、D三点的坐标,以AB为底、D点纵坐标的绝对值为高,可求出△ABD的面积. (3)首先根据旋转条件求出G点的坐标,然后将点G的坐标代入抛物线的解析式中直接进行判定即可. (1)∵四边形OCEF为矩形,OF=2,EF=3, ∴点C的坐标为(0,3),点E的坐标为(2,3). 把x=0,y=3;x=2,y=3分别代入y=-x2+bx+c中, 得, 解得, ∴抛物线所对应的函数解析式为y=-x2+2x+3; (2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, ∴抛物线的顶点坐标为D(1,4), ∴△ABD中AB边的高为4, 令y=0,得-x2+2x+3=0, 解得x1=-1,x2=3, 所以AB=3-(-1)=4, ∴△ABD的面积=×4×4=8; (3)△AOC绕点C逆时针旋转90°,CO落在CE所在的直线上,由(2)可知OA=1, ∴点A对应点G的坐标为(3,2), 当x=3时,y=-32+2×3+3=0≠2,所以点G不在该抛物线上. |
举一反三
方程x2+2x-1=0的根可看成函数y=x+2与函数的图象交点的横坐标,用此方法可推断方程x3+x-1=0的实数根x所在范围为( ) |
在平面直角坐标系中,已知二次函数的图象与轴相交于点,顶点为,点在这个二次函数图象的对称轴上.若四边形是一个边长为2且有一个内角为的菱形.求此二次函数的表达式.
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把二次函数y=ax2+bx+c的图像向左平移4个单位或向右平移1个单位后都会经过原点,则二次函数图像的对称轴与x轴的交点是A.(-2.5,0) | B.(2.5,0) | C.(-1.5,0) | D.(1.5,0) |
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如图1,抛物线y=-x2+bx+c的顶点为Q,与x轴交于A(-1,0)、B(5,0)两点,与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式及其顶点Q的坐标; (2)在该抛物线的对称轴上求一点P,使得△PAC的周长最小,请在图中画出点P的位置,并求点P的坐标; (3)如图2,若点D是第一象限抛物线上的一个动点,过D作DE⊥x轴,垂足为E. ①有一个同学说:“在第一象限抛物线上的所有点中,抛物线的顶点Q与x轴相距最远,所以当点D运动至点Q时,折线D-E-O的长度最长”,这个同学的说法正确吗?请说明理由. ②若DE与直线BC交于点F.试探究:四边形DCEB能否为平行四边形?若能,请直接写出点D的坐标;若不能,请简要说明理由.
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如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,且对称轴为x=1,点A坐标为(-1,0).则下面的四个结论: ①2a+b=0;②4a+2b+c>0;③B点坐标为(4,0);④当x<-1时,y>0. 其中正确的是( ) A.①② B.③④ C.①④ D.②③
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