试题分析:(1)四边形OKPA是正方形.当⊙P分别与两坐标轴相切时,PA⊥y轴,PK⊥x轴,x轴⊥y轴,且PA=PK,可判断结论; (2)①连接PB,设点P(x,),过点P作PG⊥BC于G,则半径PB=PC,由菱形的性质得PC=BC,可知△PBC为等边三角形,在Rt△PBG中,∠PBG=60°,PB=PA=x,PG=,利用sin∠PBG=,列方程求x即可; ②求直线PB的解析式,利用过A点或C点且平行于PB的直线解析式与抛物线解析式联立,列方程组求满足条件的M点坐标即可. (1)四边形OKPA是正方形. 证明:∵⊙P分别与两坐标轴相切, ∴PA⊥OA,PK⊥OK. ∴∠PAO=∠OKP=90°. 又∵∠AOK=90°, ∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°. ∴四边形OKPA是矩形. 又∵AP=KP, ∴四边形OKPA是正方形. (2)①连接PB,设点P的横坐标为x,则其纵坐标为.
过点P作PG⊥BC于G. ∵四边形ABCP为菱形, ∴BC=PA=PB=PC(半径). ∴△PBC为等边三角形. 在Rt△PBG中,∠PBG=60°,PB=PA=x, PG= sin∠PBG=,即=. 解之得:x=±2(负值舍去). ∴PG=,PA=BC=2.P(2, ) 易知四边形OGPA是矩形,PA=OG=2,BG=CG=1, ∴OB=OG-BG=1,OC=OG+GC=3. ∴A(0, ),B(1,0),C(3,0). ②设二次函数解析式为:y=ax2+bx+c. 据题意得: 解之得:. ∴二次函数关系式为:y=x2−x+
设直线BP的解析式为:y=ux+v,据题意得:解之得:. ∴直线BP的解析式为:y= x-, 过点A作直线AM∥BP,则可得直线AM的解析式为:y=x+. 解方程组: 得:;. 过点C作直线CM∥PB,则可设直线CM的解析式为:y=x+t. ∴0=3+t. ∴t=−3. ∴直线CM的解析式为:y=x−3. 解方程组: 得:;.. 综上可知,满足条件的M的坐标有四个,分别为:(0,),(3,0),(4,),(7,8). 考点: 二次函数综合题. |