解:(1)∵B(4,0)在抛物线的图象上 ∴,即:。 ∴抛物线的解析式为:。 (2)由(1)的函数解析式可求得:A(﹣1,0)、C(0,﹣2)。 ∴OA=1,OC=2,OB=4。∴。 又∵OC⊥AB,∴△OAC∽△OCB。∴∠OCA=∠OBC。 ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°。 ∴△ABC为直角三角形,AB为△ABC外接圆的直径。 ∴该外接圆的圆心为AB的中点,且坐标为:(,0)。 (3)已求得:B(4,0)、C(0,﹣2),可得直线BC的解析式为:y=x﹣2。 设直线l∥BC,则该直线的解析式可表示为:y=x+b,当直线l与抛物线只有一个交点时,可列方程:x+b=,即: x2﹣4x﹣4﹣2b=0,且△=0。 ∴16﹣4×(﹣4﹣2b)=0,解得b=4。∴直线l:y=x﹣4。 ∵,当h最大(即点M到直线BC的距离最远)时,△ABC的面积最大。 ∴点M是直线l和抛物线的唯一交点,有: ,解得:。∴ M(2,﹣3)。 (1)该函数解析式只有一个待定系数,只需将B点坐标代入解析式中即可。 (2)根据抛物线的解析式确定A点坐标,然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置,由此确定圆心坐标。 (3)△MBC的面积可由表示,若要它的面积最大,需要使h取最大值,即点M到直线BC的距离最大,若设一条平行于BC的直线,那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时,该交点就是点M。 |