如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,点B的坐标为(4,3).平行于对角线AC的直线m从原点O出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,设直线m
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如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,点B的坐标为(4,3).平行于对角线AC的直线m从原点O出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,设直线m
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如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,点B的坐标为(4,3).平行于对角线AC的直线m从原点O出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N,直线m运动的时间为t(秒).
(1)点A的坐标是:_________,点C的坐标是:__________;
(2)设△OMN的面积为S,求S与t的函数关系式;
(3)探求(2)中得到的函数S有没有最大值?若有,求出最大值;若没有,说明理由.
答案
解:(1)(4,0)、(0,3)
(2)当0<t≤4时,OM=t.
由△OMN∽△OAC,得
,
∴ ON=
,S=
×OM×ON=
.
当4<t<8时,如图,
∵ OD=t,∴ AD= t-4.
由△DAM∽△AOC,可得AM=
.
而△OND的高是3.
S=△OND的面积-△OMD的面积
=
×t×3-
×t×
=
.
(3) 有最大值.
方法一:当0<t≤4时,
∵ 抛物线S=
的开口向上,在对称轴t=0的右边, S随t的增大而增大,
∴ 当t=4时,S可取到最大值
=6;
当4<t<8时,
∵ 抛物线S=
的开口向下,它的顶点是(4,6),
∴ S<6.
综上,当t=4时,S有最大值6.
方法二:∵ S=
∴ 当0<t<8时,画出S与t的函数关系图像,如图所示.
显然,当t=4时,S有最大值6.
解析
(1)根据B点的坐标即可求出A、C的坐标;
(2)本问要分类进行讨论:
①当直线m在AC下方或与AC重合时,即当0<t≤4时,根据平行得到两对同位角的相等可证△OMN∽△OAC,用两三角形的相似比求出面积比,即可得出S与t的函数关系式;
②当直线m在AC上方时,即当4<t<8时,由平行得到一对同位角相等,再由一对直角的相等得到△DAM∽△AOC,根据相似得比例,由OD,AD表示出AM的长,进而得到BM的长,再由MN∥AC,得到两对同位角的相等,从而得到△BMN∽△BAC,由相似得比例BN的长,从而得到CN的长,然后分别表示出各个三角形的面积,可用矩形OABC的面积-三角形BMN的面积-三角形OCN的面积-三角形OAM的面积来求得
(3)根据(2)得出的函数的性质和自变量的取值范围即可求出面积S的最大值及对应的t的值.
举一反三
已知,如图所示抛物线
与x的两个交点分别为A(1,0),B(3,0)。
(1)求抛物线的解析式;
(2)设点P在该抛物线上滑动,且满足条件S
△PAB
= 1这样的点P有几个?并求出所有点P 的坐标;
(3)设抛物线交y轴于点C,问该抛物线对称轴上是否存在点M,使得△MAC的周长最小.若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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下列函数不属于二次函数的是( )
A.y=(x-1)(x+2)
B.y=
(x+1)
2
C.y=1-
x
2
D.y=2(x+3)
2
-2x
2
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k为任何实数,则抛物线y=2(x+k)
2
-k的顶点在( )上
A.直线y=x上,
B.直线y=-x
C.x轴
D.y轴
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,抛物线
必过点( )
A.(-1,1)
B.(1,-1)
C.(-1,-1)
D.(1,1)
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已知点(3,
)
,(4,
), (5,
)在函数y=2x
2
+8x+7的图象上,则y
1
,y
2
,y
3
的大小关系是( )
A.y
1
>y
2
>y
3
B.y
2
> y
1
> y
3
C.y
2
>y
3
> y
1
D.y
3
> y
2
> y
1
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