如图,抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与双曲线相交于点A,B,且抛物线经过坐标原点,点A的坐标为(﹣2,2),点B在第四象限内,过点B作直线BC∥x轴,点C
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如图,抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与双曲线相交于点A,B,且抛物线经过坐标原点,点A的坐标为(﹣2,2),点B在第四象限内,过点B作直线BC∥x轴,点C
题型:不详
难度:
来源:
如图,抛物线y=ax
2
+bx+c(a<0)与双曲线
相交于点A,B,且抛物线经过坐标原点,点A的坐标为(﹣2,2),点B在第四象限内,过点B作直线BC∥x轴,点C为直线BC与抛物线的另一交点,已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍,记抛物线顶点为E.
(1)求双曲线和抛物线的解析式;
(2)计算△ABC与△ABE的面积;
(3)在抛物线上是否存在点D,使△ABD的面积等于△ABE的面积的8倍?若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)
,
(2)15,
(3) D的坐标为(3,﹣18)或(﹣4,﹣4)
解析
解:(1)∵点A(﹣2,2)在双曲线
上,
∴k=﹣4。
∴双曲线的解析式为
。
∵BC与x轴之间的距离是点B到y轴距离的4倍,
∴设B点坐标为(m,﹣4m)(m>0)代入双曲线解析式得m=1。
∴抛物线y=ax
2
+bx+c(a<0)过点A(﹣2,2)、B(1,﹣4)、O(0,0)。
∴
,解得:
。
∴抛物线的解析式为
。
(2)∵抛物线的解析式为
,
∴顶点E(
),对称轴为x=
。
∵B(1,﹣4),∴﹣x
2
﹣3x=﹣4,解得:x
1
=1,x
2
=﹣4。
∴C(﹣4,﹣4)。
∴S
△
ABC
=
×5×6=15,
由A、B两点坐标为(﹣2,2),(1,﹣4)可求得直线AB的解析式为:y=﹣2x﹣2。
设抛物线的对称轴与AB交于点F,则F点的坐标为(
,1)。
∴EF=
。∴S
△
ABE
=S
△
AEF
+S
△
BEF
=
×
×3=
。
(3)S
△
ABE
=
,∴8S
△
ABE
=15。
∴当点D与点C重合时,显然满足条件,
当点D与点C不重合时,过点C作AB的平行线CD,
其直线解析式为y=﹣2x﹣12。
令﹣2x﹣12=﹣x
2
﹣3x,解得x
1
=3,x
2
=﹣4(舍去)。
当x=3时,y=﹣18,故存在另一点D(3,﹣18)满足条件。
综上所述,可得点D的坐标为(3,﹣18)或(﹣4,﹣4)。
(1)将点A的坐标代入双曲线方程即可得出k的值,设B点坐标为(m,﹣4m)(m>0),根据双曲线方程可得出m的值,然后分别得出了A、B、O的坐标,利用待定系数法求解二次函数解析式即可。
(2)根据点B的坐标,结合抛物线方程可求出点C的坐标,从而可得出△ABC的面积。先求出AB的解析式,然后求出点F的坐标,及EF的长,从而根据S
△
ABE
=S
△
AEF
+S
△
BEF
可得△ABE的面积。
(3)先确定符合题意的△ABD的面积,从而可得出当点D与点C重合时,满足条件;当点D与点C不重合时,过点C作AB的平行线CD,则可求出其解析式,求出其与抛物线的交点坐标即可得出点D的坐标。
举一反三
要得到二次函数y= -x
2
+2x-2的图象,需将y=" -" x
2
的图象( )
A.向左平移2个单位,再向下平移2个单位
B.向右平移2个单位,再向上平移2个单位
C.向左平移1个单位,再向上平移1个单位
D.向右平移1个单位,再向下平移1个单位
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如图,二次函数
的图像与
轴正半轴相交,其顶点坐标为(
),下列结论:①
;②
;③
;④
.
其中正确结论的个数是 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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下列关系式中,属于二次函数的是(x为自变量) ( )
A.
B.
C.
D.
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已知二次函数
的图象如图所示,a、b、c满足 ( )
A、a<0,b<0,c>0 B、 a<0,b<0, c<0
C、a<0,b>0,c>0 D、 a>0,b<0,c>0
题型:不详
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抛物线
的顶点的坐标是
题型:不详
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