如图,已知平面直角坐标系中,点A(2,m),B(-3,n)为两动点,其中m﹥1,连结,,作轴于点,轴于点.小题1:求证:mn=6小题2:当时,抛物线经过两点且以
题型:不详难度:来源:
如图,已知平面直角坐标系中,点A(2,m),B(-3,n)为两动点,其中m﹥1,连结,,作轴于点,轴于点.
小题1:求证:mn=6 小题2:当时,抛物线经过两点且以轴为对称轴,求抛物线对应的二次函数的关系式 小题3:在(2)的条件下,设直线交轴于点,过点作直线交抛物线于两点,问是否存在直线,使S⊿POF:S⊿QOF=1:2?若存在,求出直线对应的函数关系式;若不存在,请说明理由. |
答案
小题1:点坐标分别为(2,m),(-3,n),∴BC=n,OC=3,OD=2,AD=m, 又,易证,∴,∴,∴mn=6. 小题2:由(1)得,,又∴ 即∴,又,∴,又∵mn="6," ∴∴m=6(),n=1 坐标为坐标为,易得抛物线解析式为. 小题3:直线为,且与y轴交于点, 假设存在直线交抛物线于两点,且使S⊿POF:S⊿QOF=1:2,如图所示, 则有PF:FQ=1:2,作轴于M点,轴于点, 在抛物线上,设坐标为, 则FM=,易证△PMF∽QNF,∴, ∴QN=2PM=-2t,NF=2MF=,∴
点坐标为,Q点在抛物线上, ,解得, 坐标为,坐标为, 易得直线为. 根据抛物线的对称性可得直线的另解为. |
解析
(1)根据A、B的坐标,可得OC、OD、BC、AD的长,由于OA⊥OB,可证得△BOC∽△OAD,根据相似三角形所得比例线段,即可证得所求的结论. (2)欲求抛物线的解析式,需先求出A、B的坐标;根据(1)的相似三角形,可得3OA=mOB,用OB表示出OA,代入△OAB的面积表达式中,可得到OB2的值,在Rt△BOC中,利用勾股定理可求得另外一个OB2的表达式,联立两式可得关于m、n的等式,结合(1)的结论即可求出m、n的值,从而确定A、B的坐标和抛物线的解析式. (3)求直线l的解析式,需先求出P、Q的坐标,已知S△POF:S△QOF=1:2,由于两三角形同底不等高,所以面积比等于高的比,即P、Q两点横坐标绝对值的比,可设出点P的坐标,然后根据两者的比例关系表示出点Q的坐标,由于点Q在抛物线的图象上,可将其代入抛物线的解析式中,即可求得点P、Q的坐标,进而可利用待定系数法求得直线l的解析式. |
举一反三
抛物线y = (x-3)2 +5的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是 ( ▲ ) A.开口向上;直线x=-3;(-3,5) B.开口向下;直线x=3;(-3, -5) C. 开口向上;直线x=3;(3, 5) D.开口向下;直线x=-3;(3, -5) |
某企业信息部进行市场调研发现:信息一:如果单独投资A种产品,所获利润yA(万元)与投资金额x(万元)之间存在某种关系的部分对应值如下表:
x(万元)
| 1
| 2
| 2.5
| 3
| 5
| yA(万元)
| 0.4
| 0.8
| 1
| 1.2
| 2
| 信息二:如果单独投资B种产品,则所获利润yB(万元)与投资金额x(万元)之间存在二次函数关系:yB=ax2+bx,且投资2万元时获利润2.4万元,当投资4万元时,可获利润3.2万元. (1)求出yB与x的函数关系式. (2)从所学过的一次函数、二次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示yA与x之间的关系,并求出yA与x的函数关系式. (3)如果企业同时对A、B两种产品共投资15万元,请设计一个能获得最大利润的投资方案,并求出按此方案能获得的最大利润是多少? |
如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线y=x2-x-10与x轴的交点为A,与y轴的交点为点B,过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC.现有两动点P,Q分别从O,C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动.线段OC,PQ相交于点D,过点D作DE∥OA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F.设动点P,Q移动的时间为t(单位:秒)
(1)求A,C两点的坐标和抛物线的顶点M坐标; (2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程; (3)当0<t<4.5时,△PQF的面积是否总为定值?若是,求出此定值;若不是,请说明理由; (4)当t为何值时,△PQF为等腰三角形?请写出解答过程. |
二次函数的图像交y轴于C点,交轴于A,B两点(点A在点B的左侧),点A、点B的横坐标是一元二次方程的两个根.(1)求出点A、点B的坐标及该二次函数表达式.
(2)如图2,连接AC、BC,点Q是线段OB上 一个动点(点Q不与点O、B重合),过点Q作QD∥AC交于BC点D,设Q点坐标(m,0),当面积S最大时,求m的值. (3)如图3,线段MN是直线y=x上的动线段(点M在点N左侧),且,若M点的横坐标为n,过点M作x轴的垂线与x轴交于点P,过点N作x轴的垂线与抛物线交于点Q.以点P,M,Q,N为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,请求出n的值;若不能,请说明理由. |
如图,抛物线与x轴交于A,0两点,将抛物线向上移动4个单位长度后得到一条新抛物线,它的顶点在x轴上,新抛物线上的D,E两点分别是A,O两点平移后的对应点。设两条抛物线、线段AD和线段OE围成的面积为S。P(m,n)是新抛物线上一个动点,切满足
⑴求新抛物线的解析式。 ⑵当m=-2时,点F的坐标为,试判断直线DF与AE的位置关系,并说明理由。 ⑶当的值最小时,求△AEP的面积与S的数量关系。 |
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