如图，抛物线与x轴交于A，0两点，将抛物线向上移动4个单位长度后得到一条新抛物线，它的顶点在x轴上，新抛物线上的D，E两点分别是A，O两点平移后的对应点。设两条

题型：不详难度：来源：

如图，抛物线与x轴交于A，0两点，将抛物线向上移动4个单位长度后得到一条新抛物线，它的顶点在x轴上，新抛物线上的D，E两点分别是A，O两点平移后的对应点。设两条抛物线、线段AD和线段OE围成的面积为S。P（m，n）是新抛物线上一个动点，切满足

⑴求新抛物线的解析式。
⑵当m=-2时，点F的坐标为，试判断直线DF与AE的位置关系，并说明理由。
⑶当的值最小时，求△AEP的面积与S的数量关系。

答案

⑴⑵DF∥AE，理由见解析⑶△AEP=S

解析

⑴由题意可知，原抛物线的顶点坐标为（-2，-4），且过原点，可得，那么新抛物线的解析式为
⑵直线DF与AE的位置关系为DF∥AE。理由如下：当m=-2时，P（-2,0），把点P（-2,0）带入可得=4，所以点F（-8,0），又有点A(-4,0),D(-4,4),E(0,4)，可证△ADF和△OEA全等，所以∠AFD=∠OAE，所以DF∥AE。
⑶连结DE，则新抛物线与DE围成的图形的面积等于原抛物线与AO围成的图形的面积，所以
S=S_{正方形AOED}=4×4=16.因为点P（m，n）是新抛物线上的一点，所以，又因为P的坐标满足，
所以=。
当m=1时，取得最小值-5，此时n=9，即点P的坐标为（1，9）。
所以△AEP=8，所以△AEP=S。
⑴由题意可知，原抛物线的顶点坐标为（-2，-4） ，可求出原抛物线的解析式，从而求得新抛物线的解析式
⑵通过△ADF和△OEA全等，可得∠AFD=∠OAE，从而得出结论
⑶连结DE，则新抛物线与DE围成的图形的面积等于原抛物线与AO围成的图形的面积，求得，得出结论