如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，且OA＝OB．小题1:求b＋c的值小题2:若点C在抛物线上，且四边形OABC是平

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如图，已知抛物线y＝－x²＋bx＋c与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，且OA＝OB．
小题1:求b＋c的值
小题2:若点C在抛物线上，且四边形OABC是平行四边形，试求抛物线的解析式；
小题3:在（2）的条件下，作∠OBC的角平分线，与抛物线交于点P，求点P的坐标．

答案

小题1:因为抛物线y＝－x²＋bx＋c与y轴正半轴交于点B，所以点B的坐标为（0，c）．…… 1分
因为OA＝OB，所以点A的坐标为（－c，0）．…… 2分
将点A（－c，0）代入y＝－x²＋bx＋c，得－c²＋bc＋c＝0．
因为c≠0，整理，得b＋c＝1．…… 4分
小题2:如果四边形OABC是平行四边形，那么BC//AO，BC＝AO．
因此点C的坐标可以表示为（c，c）．…… 5分
当点C（c，c）落在抛物线y＝－x²＋bx＋c上时，得－c²＋bc＋c＝c．
整理，得b＝c．…… 6分
结合第（1）题的结论b＋c＝1，得

．…… 7分
此时抛物线的解析式为

．…… 8分
小题3:过点P作PM⊥y轴，垂足为M．

因为BP平分∠CBO，所以△BPM是等腰直角三角形．9分
设点P的坐标为

，
由BM＝PM，列方程

．…… 10分
解得

或

（舍去）．…… 11分
所以，点P的坐标为

．…… 12分

解析

（1）因为抛物线y＝－x²＋bx＋c与y轴正半轴交于点B，所以点B的坐标为（0，c）．点A的坐标为（－c，0）．代入y＝－x²＋bx＋c，求得b＋c的值
（2）根据四边形OABC是平行四边形，得出点C的坐标可以表示为（c，c）进行解答
（3）过点P作PM⊥y轴，垂足为M．证得△BPM是等腰直角三角形

举一反三

如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为

的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的啦标为（-1，0），点B在抛物线

上，
小题1:点Ａ的坐标为__________,点Ｂ的坐标为___________;抛物线的解析式为_________;
小题2:在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP是以AC为直角边向直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由
小题3:若点D是(1)中所求抛物线在第三象限内的一个动点，连结BD、CD。当△BCD的面积最大时，求点D的坐标。

小题4:若点P是(1)中所求抛物线上一个动点，以线段AB、BP为邻边作平形四边形ABPQ。当点Q落在x轴上时，直接写出点P的坐标．

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如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点A在x轴的正半轴上，BC与y轴交于点D，点C的坐标为（-3，4）。
小题1:点A的坐标为 ▲ ；
小题2:求过点A、O、C的抛物线解析式，并求它的顶点坐标；
小题3:在直线AB上是否存在点P，使得以点A、O、P为顶点的三角形与△COD相似。若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

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若A（-5，

），B（-3，

），C（0，

）为二次函数

的图象上的三点，则

、

的大小关系是（★）

A．

＜

B．

C．

D．

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如图1，抛物线

与x轴交于B(3,0) 、C(8.0)两点，抛物线另有一点A在第一象限内，连接AO、AC，且AO=AC.
小题1:求抛物线的解析式；
小题2:将△OAC绕x轴旋转一周，求所得旋转体的表面积；
小题3:如图2，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，设垂直于x轴的直线l：x＝n与（1）中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线l 沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值．

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如图1，二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C，且A、B两点的坐标分别是(4，0)、(0，－2)，tan∠BCO＝

(1)求抛物线解析式；(2)点M为抛物线上一点，若以MB为直径的圆与直线BC相切于点B，求点M的坐标；(3) 如图2，若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=－x的动点，是否存在以点P、Q、C、O为顶点且以OC为一边的四边形是直角梯形；如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．

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