小题1:设所求抛物线的解析式为:,将A(1,0)、B(-3,0)、 D(0,3)代入,得 …………………………………………2分 即所求抛物线的解析式为: ……………………………3分 小题2:如图④,在y轴的负半轴上取一点I,使得点F与点I关于x轴对称, 在x轴上取一点H,连接HF、HI、HG、GD、GE,则HF=HI…………………① 设过A、E两点的一次函数解析式为:y=kx+b(k≠0), ∵点E在抛物线上且点E的横坐标为-2,将x=-2,代入抛物线,得 ∴点E坐标为(-2,3)………………………………………………………………4分 又∵抛物线图象分别与x轴、y轴交于点A(1,0)、B(-3,0)、 D(0,3),所以顶点C(-1,4) ∴抛物线的对称轴直线PQ为:直线x=-1, [中国教#&~@育出%版 ∴点D与点E关于PQ对称,GD=GE……………………………………………② 分别将点A(1,0)、点E(-2,3) 代入y=kx+b,得: 解得: 过A、E两点的一次函数解析式为: y=-x+1 ∴当x=0时,y=1 ∴点F坐标为(0,1)……………………5分 ∴=2………………………………………③ 又∵点F与点I关于x轴对称, ∴点I坐标为(0,-1) ∴……………………………………④ 又∵要使四边形DFHG的周长最小,由于DF是一个定值, ∴只要使DG+GH+HI最小即可 ……………………………………6分 由图形的对称性和①、②、③,可知, DG+GH+HF=EG+GH+HI 只有当EI为一条直线时,EG+GH+HI最小 设过E(-2,3)、I(0,-1)两点的函数解析式为:, 分别将点E(-2,3)、点I(0,-1)代入,得: 解得: 过I、E两点的一次函数解析式为:y=-2x-1 ∴当x=-1时,y=1;当y=0时,x=-; ∴点G坐标为(-1,1),点H坐标为(-,0) ∴四边形DFHG的周长最小为:DF+DG+GH+HF=DF+EI 由③和④,可知:
DF+EI= ∴四边形DFHG的周长最小为. …………………………………………7分 小题3:如图⑤,
由(2)可知,点A(1,0),点C(-1,4),设过A(1,0),点C(-1,4)两点的函数解析式为:,得: 解得:, 过A、C两点的一次函数解析式为:y=-2x+2,当x=0时,y=2,即M的坐标为(0,2); 由图可知,△AOM为直角三角形,且, ………………8分 要使,△AOM与△PCM相似,只要使△PCM为直角三角形,且两直角边之比为1:2即可,设P(,0),CM=,且∠CPM不可能为90°时,因此可分两种情况讨论; ……………………………………………………………………………9分 ①当∠CMP=90°时,CM=,若则,可求的P(-4,0),则CP=5,,即P(-4,0)成立,若由图可判断不成立;……………………………………………………………………………………10分 ②当∠PCM=90°时,CM=,若则,可求出 P(-3,0),则PM=,显然不成立,若则,更不可能成立.……11分 综上所述,存在以P、C、M为顶点的三角形与△AOM相似,点P的坐标为(-4,0)12分 |