已知二次函数y=x2-x+c。（1）若点A（-1，a）、B（2，2n-1）在二次函数y=x2-x+c的图象上，求此二次函数的最小值；（2）若点D（x1，y1）、

题型：福建省中考真题难度：来源：

已知二次函数y=x²-x+c。
（1）若点A（-1，a）、B（2，2n-1）在二次函数y=x²-x+c的图象上，求此二次函数的最小值；
（2）若点D（x₁，y₁）、E（x₂，y₂）、P（m，n）（m＞n）在二次函数y=x²-x+c的图象上，且D、E两点关于坐标原点成中心对称，连接OP，当2≤OP≤2+时，试判断直线DE与抛物线y=x²-x+c+的交点个数，并说明理由。

答案

解：（1）法1：由题意得
解得
法2：
∵抛物线y=x²-x+c的对称轴是x=， 且-（-1）=2-，
∴A、B两点关于对称轴对称，
∴n=2n-1，
∴ n=1，c=-1，
∴有y=x²-x-1
=（x-）²-，
∴二次函数y=x²-x-1的最小值是-。
（2）∵点P（m，m）（m＞0），
∴PO=m
∴2≤m ≤+2
∴2≤m≤1+
法1：∵点P（m，m）（m＞0）在二次函数y=x²-x+c的图象上，
∴m=m²-m+c，即c=-m²+2m
∵开口向下，且对称轴m=1，
∴当2≤m≤1+ 时，
有 -1≤c≤0
法2：∵2≤m≤1+，
∴ 1≤m-1≤
∴1≤（m-1）²≤2
∵点P（m，m）（m＞0）在二次函数y=x²-x+c的图象上，
∴m=m²-m+c，即1-c=（m-1）²
∴1≤1-c≤2
∴-1≤c≤0
∵点D、E关于原点成中心对称，
法1：∴x₂=-x₁，y₂=-y₁，
∴
∴2y₁=-2x₁，y₁=-x₁
设直线DE：y=kx，有-x₁=kx₁，
由题意，存在x₁≠x₂，
∴存在x₁，使x₁≠0
∴k=-1，
∴ 直线DE： y=-x
法2：设直线DE：y=kx，则根据题意有kx=x²-x+c，即x²-（k+1）x+c=0，
∵ -1≤c≤0，
∴（k+1）²-4c≥0
∴方程x²-（k+1）x+c=0有实数根
∵x₁+x₂=0，
∴k+1=0
∴k=-1
∴直线DE：y=-x
若则有 x²+c+=0，即x²=-c-，
① 当-c-=0时，即c=-时，方程x²=-c-有相同的实数根，
即直线y=-x与抛物线y=x²-x+c+有唯一交点，
②当 -c-＞0时，即c＜-时，即-1≤c＜-时，
方程x²=-c-有两个不同实数根，
即直线y=-x与抛物线y=x²-x+c+有两个不同的交点，
③当 -c-＜0时，即c＞-时，即-＜c≤0时，
方程x²=-c-没有实数根，
即直线y=-x与抛物线y=x²-x+c+没有交点。