在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-与x轴的交点分别为原点O和点A，点B（2，n）在这条抛物线上。（1）求B点的坐标；（2）点P在线段OA上，从O点出发向A点

题型：北京中考真题难度：来源：

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-与x轴的交点分别为原点O和点A，点B（2，n）在这条抛物线上。
（1）求B点的坐标；
（2）点P在线段OA上，从O点出发向A点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长PE到点D，使得ED=PE，以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当P点运动时，C点、D点也随之运动）；
①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；
②若P点从O点出发向A点做匀速运动，速度为每秒1个单位长度，同时线段OA上另一个点Q从A点出发向O点做匀速运动，速度为每秒2个单位长度（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动）过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F，在QF的延长线上取点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当Q点运动时，M点、N点也随之运动）若P点运动t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在间一条直线上，求此刻t的值。 

答案

解：（1）∵抛物线y=-经过原点，
∴m²-3m+2=0，
解得m₁=1，m₂=2，
由题意知m≠l，
∴m=2，
∴抛物线的解析式为y=-x²+x，
∵点B（2，n）在抛物线y=-上，
∴n=4，
∴B点的坐标为（2，4）（2）①设直线OB的解析式为y=k₁x
由（1）可求得直线OB的解析式为y=2x，
∵A点是抛物线与x轴的一个交点，
可求得A点的坐标为（10，0），
设P点的坐标为（a，0），则E点的坐标为（a，2a），
根据题意作等腰直角三角形PCD，
如图（1）可求得点C的坐标为（3a，2a），
由C点在抛物线上，
得2a=-x（3a）²+×3a，
即a²-a=0，
解得a₁=，a₂=0（舍去），
∴OP=
②依题意作等腰直角三角形QMN，
设直线AB的解析式为y=k₂x+b，
由点A（10，0），点B（2，4），
求得直线AB 的解析式为y=-x+5，
当P点运动t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：
第一种情况：CD与NQ在同一条直线上如图（2）所示，
可证△DPQ为等腰直角三角形，
此时OP、DP、AQ的长可依次表示为t、4t、2t个单位长度，
∴PQ=DP=4t，
∴t+4t+2t=10，
∴t=10/7 ，
第二种情况：PC与MN在同一条直线上，如图（3）所示，
可证△PQM为等腰直角三角形，
此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位长度，
∴OQ=10-2t，
∵F点在直线AB上，
∴FQ=t，
∴MQ=2t，
∴PQ=MQ=CQ=2t，
∴t+2t+2t=10，
∴t=2，
第三种情况：点P、Q重合时，PD、QM在同一条直线上，如图（4）所示，
此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位长度，
∴t +2t= 10，
∴t=10/3，
综上，符合题意的t值分别为10/7，2，10/3。