如图,抛物线y=-38x2-34x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)求点A、B的坐标;(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一

如图,抛物线y=-38x2-34x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)求点A、B的坐标;(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一

题型:不详难度:来源:
如图,抛物线y=-
3
8
x2-
3
4
x+3
与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(1)求点A、B的坐标;
(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标;
(3)若直线l过点E(4,0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式.
答案
(1)令y=0,即-
3
8
x2-
3
4
x+3
=0,
解得x1=-4,x2=2,
∴A、B点的坐标为A(-4,0)、B(2,0).

(2)抛物线y=-
3
8
x2-
3
4
x+3
的对称轴是直线x=-
-
3
4
2×(-
3
8
)
=-1,
即D点的横坐标是-1,
S△ACB=
1
2
AB•OC=9,
在Rt△AOC中,AC=


OA2+OC2
=


42+32
=5,
设△ACD中AC边上的高为h,则有
1
2
AC•h=9,解得h=
18
5

如答图1,在坐标平面内作直线平行于AC,且到AC的距离=h=
18
5
,这样的直线有2条,分别是l1和l2,则直线与对称轴x=-1的两个交点即为所求的点D.
设l1交y轴于E,过C作CF⊥l1于F,则CF=h=
18
5

∴CE=
CF
sin∠CEF
=
CF
sin∠OCA
=
18
5
4
5
=
9
2

设直线AC的解析式为y=kx+b,将A(-4,0),C(0,3)坐标代入,
得到





-4k+b=0
b=3
,解得





k=
3
4
b=3

∴直线AC解析式为y=
3
4
x+3.
直线l1可以看做直线AC向下平移CE长度单位(
9
2
个长度单位)而形成的,
∴直线l1的解析式为y=
3
4
x+3-
9
2
=
3
4
x-
3
2

则D1的纵坐标为
3
4
×(-1)-
3
2
=-
9
4
,∴D1(-1,-
9
4
).
同理,直线AC向上平移
9
2
个长度单位得到l2,可求得D2(-1,
27
4

综上所述,D点坐标为:D1(-1,-
9
4
),D2(-1,
27
4
).

(3)如答图2,以AB为直径作⊙F,圆心为F.过E点作⊙F的切线,这样的切线有2条.
连接FM,过M作MN⊥x轴于点N.
∵A(-4,0),B(2,0),
∴F(-1,0),⊙F半径FM=FB=3.
又FE=5,则在Rt△MEF中,
ME=


52-32
=4,sin∠MFE=
4
5
,cos∠MFE=
3
5

在Rt△FMN中,MN=MF•sin∠MFE=3×
4
5
=
12
5

FN=MF•cos∠MFE=3×
3
5
=
9
5
,则ON=
4
5

∴M点坐标为(
4
5
12
5

直线l过M(
4
5
12
5
),E(4,0),
设直线l的解析式为y=kx+b,则有





4
5
k+b=
12
5
4k+b=0
,解得





k=-
3
4
b=3

所以直线l的解析式为y=-
3
4
x+3.
同理,可以求得另一条切线的解析式为y=
3
4
x-3.
综上所述,直线l的解析式为y=-
3
4
x+3或y=
3
4
x-3.
举一反三
某涵洞的截面是抛物线型,如图所示,在图中建立的直角坐标系中,抛物线的解析式为y=-
1
4
x2,当涵洞水面宽AB为12米时,水面到桥拱顶点O的距离为______米.
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松花江大桥的一个桥拱为抛物线形状,拱顶A离桥面50m,桥面上拱形钢梁之间的距离BC=120m,建立如图所示的直角坐标系.
(1)写出A,B,C三点的坐标;
(2)求该抛物线的解析式.
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今年,6月12日为端午节.在端午节前夕,三位同学到某超市调研一种进价为2元的粽子的销售情况.请根据小丽提供的信息,解答小华的问题.
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如图,已知抛物线的顶点坐标是(2,-1),且经过点A(5,8)
(1)求该抛物线的解析式;
(2)设该抛物线与y轴相交于点B,与x轴相交于C、D两点(点C在点D的左边),试求点B、C、D的坐标;
(3)设点P是x轴任一点,连接AP、BP.试求当AP+BP取得最小值时点P的坐标.
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一条抛物线y=
1
4
x2+mx+n经过点(0,
3
2
)与(4,
3
2
).
(1)求这条抛物线的解析式,并写出它的顶点坐标;
(2)现有一半径为1,圆心P在抛物线上运动的动圆,当⊙P与坐标轴相切时,求圆心P的坐标.
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