一条抛物线y=14x2+mx+n经过点(0,32)与(4,32).(1)求这条抛物线的解析式,并写出它的顶点坐标;(2)现有一半径为1,圆心P在抛物线上运动的动
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一条抛物线y=14x2+mx+n经过点(0,32)与(4,32).(1)求这条抛物线的解析式,并写出它的顶点坐标;(2)现有一半径为1,圆心P在抛物线上运动的动
题型:不详
难度:
来源:
一条抛物线y=
1
4
x
2
+mx+n经过点(0,
3
2
)与(4,
3
2
).
(1)求这条抛物线的解析式,并写出它的顶点坐标;
(2)现有一半径为1,圆心P在抛物线上运动的动圆,当⊙P与坐标轴相切时,求圆心P的坐标.
答案
(1)由抛物线过(0,
3
2
),(4,
3
2
)两点,
得
n=
3
2
1
4
×
4
2
+4m+n=
3
2
,
解得
m=-1
n=
3
2
.
∴抛物线的解析式是:y=
1
4
x
2
-x+
3
2
,(3分)
由y=
1
4
x
2
-x+
3
2
=
1
4
(x-2)
2
+
1
2
,得抛物线的顶点(2,
1
2
);
(2)设点P的坐标为(x
0
,y
0
)
①当圆P与y轴相切时,有|x
0
|=1,
∴x
0
=±1
由x
0
=1,得y
0
=
1
4
×1-1+
3
2
=
3
4
由x
0
=-1,得y
0
=
1
4
×(-1)
2
-(-1)+
3
2
=
11
4
此时,点P的坐标为P
1
(1,
3
4
),P
2
(-1,
11
4
);
②当圆P与x轴相切时,有|y
0
|=1
∵抛物线的开口向上,顶点在x轴的上方,y
0
>0,∴y
0
=1
由y
0
=1,得
1
4
x
0
2
-x
0
+
3
2
=1
解得x
0
=2±
2
此时,点P的坐标为P
3
(2-
2
,1),P
4
(2+
2
,1)
综上所述,圆心P的坐标为P
1
(1,
3
4
),P
2
(-1,
11
4
),P
3
(
2-
2
,1),P
4
(
2+
2
,1).
举一反三
如图1,Rt△ABC中,∠A=90°,tanB=
3
4
,点P在线段AB上运动,点Q、R分别在线段BC、AC上,且使得四边形APQR是矩形.设AP的长为x,矩形APQR的面积为y,已知y是x的函数,其图象是过点(12,36)的抛物线的一部分(如图2所示).
(1)求AB的长;
(2)当AP为何值时,矩形APQR的面积最大,并求出最大值.
为了解决这个问题,孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论:
张明:图2中的抛物线过点(12,36)在图1中表示什么呢?
李明:因为抛物线上的点(x,y)是表示图1中AP的长与矩形APQR面积的对应关系,那么,(12,36)表示当AP=12时,AP的长与矩形APQR面积的对应关系.
赵明:对,我知道纵坐标36是什么意思了!
孔明:哦,这样就可以算出AB,这个问题就可以解决了.请根据上述对话,帮他们解答这个问题.
题型:不详
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某小区有一长100m,宽80m的空地,现将其建成花园广场,设计图案如下,阴影区域为绿化区(四块绿化区是全等矩形),空白区域为活动区,且四周出口一样宽,宽度不小于50m,不大于60m.预计活动区每平方米造价60元,绿化区每平方米造价50元.设每块绿化区的长边为xm,短边为ym,工程总造价为w元.
(1)写出x的取值范围;
(2)写出y与x的函数关系式;
(3)写出w与x的函数关系式;
(4)如果小区投资46.9万元,问能否完成工程任务?若能,请写出x为整数的所有工程方案;若不能,请说明理由.(参考数据:
3
≈1.732)
题型:不详
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明珠大剧场座落在聊城东昌湖西岸,其上部为能够旋转的拱形钢结构,并且具有开启、闭合功能,全国独-无二,如图1.舞台顶部横剖面拱形可近似看作抛物线的一部分,其中舞台高度1.15米,台口高度13.5米,台口宽度29米,如图2.以ED所在直线为x轴,过拱顶A点且垂直于ED的直线为y轴,建立平面直角坐标系.
(1)求拱形抛物线的函数关系式;
(2)舞台大幕悬挂在长度为20米的横梁MN上,其下沿恰与舞台面接触,求大幕的高度?(精确到0.01米)
题型:不详
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如图,小李推铅球,如果铅球运行时离地面的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式
y=-
1
8
x
2
+
1
2
x+
3
2
,那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为______米.
题型:不详
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如图1,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B.
(1)求抛物线和直线AB的解析式;
(2)连结CA,CB,对称轴x=1与线段AB交于点D,求△CAB的铅垂高CD及S
△CAB
;
(3)如图2,点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连结PA,PB,是否存在一点P,使S
△PAB
=
9
8
S
△CAB
?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详
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