如图1,Rt△ABC中,∠A=90°,tanB=34,点P在线段AB上运动,点Q、R分别在线段BC、AC上,且使得四边形APQR是矩形.设AP的长为x,矩形AP

如图1,Rt△ABC中,∠A=90°,tanB=34,点P在线段AB上运动,点Q、R分别在线段BC、AC上,且使得四边形APQR是矩形.设AP的长为x,矩形AP

题型:不详难度:来源:
如图1,Rt△ABC中,∠A=90°,tanB=
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,点P在线段AB上运动,点Q、R分别在线段BC、AC上,且使得四边形APQR是矩形.设AP的长为x,矩形APQR的面积为y,已知y是x的函数,其图象是过点(12,36)的抛物线的一部分(如图2所示).

(1)求AB的长;
(2)当AP为何值时,矩形APQR的面积最大,并求出最大值.
为了解决这个问题,孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论:
张明:图2中的抛物线过点(12,36)在图1中表示什么呢?
李明:因为抛物线上的点(x,y)是表示图1中AP的长与矩形APQR面积的对应关系,那么,(12,36)表示当AP=12时,AP的长与矩形APQR面积的对应关系.
赵明:对,我知道纵坐标36是什么意思了!
孔明:哦,这样就可以算出AB,这个问题就可以解决了.请根据上述对话,帮他们解答这个问题.
答案
(1)当AP=12时,AP•PQ=36,
∴PQ=3,
又在Rt△BPQ中,tanB=
3
4

PQ
PB
=
3
4

∴PB=4.
∴AB=16.

(2)若AP=x,则PB=16-x,PQ=
3
4
(16-x),
∴y=
3
4
(16-x)x,
整理得y=-
3
4
(x-8)2+48.
∴当x=8时,y最大值=48.
举一反三
某小区有一长100m,宽80m的空地,现将其建成花园广场,设计图案如下,阴影区域为绿化区(四块绿化区是全等矩形),空白区域为活动区,且四周出口一样宽,宽度不小于50m,不大于60m.预计活动区每平方米造价60元,绿化区每平方米造价50元.设每块绿化区的长边为xm,短边为ym,工程总造价为w元.
(1)写出x的取值范围;
(2)写出y与x的函数关系式;
(3)写出w与x的函数关系式;
(4)如果小区投资46.9万元,问能否完成工程任务?若能,请写出x为整数的所有工程方案;若不能,请说明理由.(参考数据:


3
≈1.732)
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明珠大剧场座落在聊城东昌湖西岸,其上部为能够旋转的拱形钢结构,并且具有开启、闭合功能,全国独-无二,如图1.舞台顶部横剖面拱形可近似看作抛物线的一部分,其中舞台高度1.15米,台口高度13.5米,台口宽度29米,如图2.以ED所在直线为x轴,过拱顶A点且垂直于ED的直线为y轴,建立平面直角坐标系.
(1)求拱形抛物线的函数关系式;
(2)舞台大幕悬挂在长度为20米的横梁MN上,其下沿恰与舞台面接触,求大幕的高度?(精确到0.01米)
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如图,小李推铅球,如果铅球运行时离地面的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式y=-
1
8
x2+
1
2
x+
3
2
,那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为______米.
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如图1,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B.
(1)求抛物线和直线AB的解析式;
(2)连结CA,CB,对称轴x=1与线段AB交于点D,求△CAB的铅垂高CD及S△CAB
(3)如图2,点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连结PA,PB,是否存在一点P,使S△PAB=
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8
S△CAB?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
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如图,在平面直角坐标系中,半径分别为3


3


3
的⊙O1和⊙O2外切于原点O,在x轴上方的两圆的外公切线AB与⊙O1和⊙O2分别切于点A、B,直线AB交y轴于点C.O2D⊥O1A于点D.
(1)求∠O1O2D的度数;
(2)求点C的坐标;
(3)求经过O1、C、O2三点的抛物线的解析式;
(4)在抛物线上是否存在点P,使△PO1O2为直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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