如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，4），顶点为（1，92）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的

题型：不详难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，4），顶点为（1，

9

2

）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使△CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标；
（3）若点E是线段AB上的一个动点（与A、B不重合），分别连接AC、BC，过点E作EF∥AC交线段BC于点F，连接CE，记△CEF的面积为S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

（1）∵抛物线的顶点为（1，

9

2

）
∴设抛物线的函数关系式为y=a （ x-1）²+

9

2

∵抛物线与y轴交于点C （0，4），
∴a （0-1）²+

9

2

=4
解得a=-

1

2

∴所求抛物线的函数关系式为y=-

1

2

（ x-1）²+

9

2

（2）P₁ （1，

17

），P₂ （1，-

17

），P₃ （1，8），P₄ （1，

17

8

），

（3）存在．
令-

1

2

（ x-1）²+

9

2

=0，解得x₁=-2，x₂=4
∴抛物线y=-

1

2

（ x-1）²+

9

2

与x轴的交点为A （-2，0）B（4，0）
过点F作FM⊥OB于点M，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴

MF

OC

=

EB

AB

又∵OC=4，AB=6，
∴MF=

EB

AB

×OC=

2

3

EB
设E点坐标为 （x，0），则EB=4-x，MF=

2

3

（4-x）
∴S=S_△BCE-S_△BEF=

1

2

EB•OC-

1

2

EB•MF
=

1

2

EB（OC-MF）=

1

2

（4-x）[4-

2

3

（4-x）]
=-

1

3

x²+

2

3

x+

8

3

=-

1

3

（ x-1）²+3
∵a=-

1

3

＜0，
∴S有最大值
当x=1时，S_最大值=3
此时点E的坐标为 （1，0）．