如图，在△ABC中，AB=BC=2，高BE=3，在BC边的延长线上取一点D，使CD=3．（1）现有一动点P由A沿AB移动，设AP=t，S△PCD=S，求S与t之

题型：不详难度：来源：

如图，在△ABC中，AB=BC=2，高BE=

3

，在BC边的延长线上取一点D，使CD=3．
（1）现有一动点P由A沿AB移动，设AP=t，S_△PCD=S，求S与t之间的关系式及自变量t的取值范围．
（2）在（1）的条件下，当t=

1

3

时，过点C作CH⊥PD于H，设K=7CH：9PD．求证：关于x的二次函数y=-x2-(10k-

3

)x+2k的图象与x轴的两个交点关于原点对称．
（3）在（1）的条件下，是否存在正实数t，使PD边上的高CH=

1

2

CD？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．

答案

（1）过点P作PF⊥BD于点F．
∵AB=BC=2，高BE=

3

，
∴由锐角三角函数，得∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠BPF=30°．
∵AP=t，
∴PB=2-t，
∴PF=

3

2

（2-t），
∴S=

1

2

×3×

3

2

（2-t），
=-

3 3

4

t+

3 3

2

（0≤t≤2）；

（2）证明：∵t=

1

3

，
∴PB=2-

1

3

=

5

3

，
∴PB=

5

6

，PF=

5 3

6

，CF=

7

6

，
∴DF=3+

7

6

=

25

6

，
在Rt△PFD中由勾股定理得
DP=

( 5 6 3 )2+( 25 6 )2

，
=

10 7

6

，
在△PCD中

1

2

×

5 3

6

×3=

1

2

×

10 7

6

CH，
解得CH=

3 21

14

，
K=

3 21 14 ×7

10 7 6 ×9

=

3

10

，
∴y=-x2-(10×

3

10

-

3

)x+2×

3

10

，
y=-x2+

3

5

，
当y=0时，解得x=±

5 3

5

，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标分别为：(

5 3

5

，0)或(-

5 3

5

，0)，
∴原二次函数的图象与x轴的交点关于原点对称；

（3）不存在正实数P．
∵CH⊥DP，且CH=

1

2

CD
∴∠D=30°
∴DP=2PF=（2-t）

3

，DF=2-

2-t

2

+3=

t+8

2

由勾股定理得
[(2-t)

3

]2=(

t+8

2

)2+(

(2-t) 3

2

)2
解得t₁=7不符合题意应舍去．
t₂=-

1

2

不符合题意应舍去．
∴当CH=1.5时，求出的t的值不满足题意要求．