如图所示,某同学在探究二次函数图象时,作直线y=m平行于x轴,交二次函数y=x2的图象于A、B两点,作AC、BD分别垂直于x轴,发现四边形ABCD是正方形.(1

如图所示,某同学在探究二次函数图象时,作直线y=m平行于x轴,交二次函数y=x2的图象于A、B两点,作AC、BD分别垂直于x轴,发现四边形ABCD是正方形.(1

题型:不详难度:来源:
如图所示,某同学在探究二次函数图象时,作直线y=m平行于x轴,交二次函数y=x2的图象于A、B两点,作AC、BD分别垂直于x轴,发现四边形ABCD是正方形.
(1)求m的值及A、B两点的坐标;
(2)如图所示,将抛物线“y=x2”改为“y=x2-2x+2”,直线CD经过抛物线的顶点P与x轴平行,其它关系不变,求m的值及A、B两点的坐标.
(3)如图所示,将图中的改为“y=ax2+bx+c(a>0),其它关系不变,请直接写出m的值及A、B两点的坐标(用含有a、b、c的代数式表示)
[提示:抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(-
b
2a
4ac-b2
4a
),对称轴为x=-
b
2a
].
答案
(1)∵四边形ABCD是正方形,由抛物线y=x2的对称性可知,OD=
1
2
AD
∴设点A坐标为(
1
2
m
,m),
代入y=x2
m=(
1
2
m)2

解得m1=0(舍去),m2=4,
∴m的值是4,点A的坐标为(2,4),
由抛物线的对称性,可得B点坐标为(-2,4);

(2)如图,
∵y=x2-2x+2=(x-1)2+1,
∴抛物线的顶点P坐标为(1,1),
由题意,点A的纵坐标为m,
∴AD=m-1,
设直线CD与y轴交点为Q,
则DQ=
m-1
2
+1
=
1
2
m+
1
2

∴点A的坐标为(
1
2
m+
1
2
,m),
代入y=x2-2x+2中,
整理得m2-6m+5=0,
解得m1=1(舍去),m2=5,
∴m的值为5,点A的坐标为(3,5)
∴由抛物线的对称性,可求得点B的坐标为(-1,5);

(3)m=
4ac-b2+16
4a

A(
-b+4
2a
4ac-b2+16
4a
),
B(
-b-4
2a
4ac-b2+16
4a
),
由抛物线y=ax2,求得m=
4
a

A、B两点坐标为A(
2
a
4
a
),B(-
2
a
4
a
),
把A、B两点先右移(-
b
2a
)个单位,再上移(
4ac-b2
4a
)个单位,
整理得A(
-b+4
2a
4ac-b2+16
4a
),B(
-b-4
2a
4ac-b2+16
4a
).
举一反三
如图,矩形OABC的边OC,OA分别与x轴,y轴重合,点B的坐标是(


3
,1),点D是AB边上一个动点(与点A不重合),沿OD将△OAD翻折,点A落在点P处.
(1)若点P在一次函数y=2x-1的图象上,求点P的坐标;
(2)若点P在抛物线y=ax2图象上,并满足△PCB是等腰三角形,求该抛物线解析式;
(3)当线段OD与PC所在直线垂直时,在PC所在直线上作出一点M,使DM+BM最小,并求出这个最小值.
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2011年长江中下游地区发生了特大旱情.为抗旱保丰收,某地政府制定了农户投资购买抗旱设备的补贴办法,其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备投资的金额与政府补的额度存在下表所示的函数对应关系.
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金 额
投资金额x(万元)
Ⅰ型设备Ⅱ型设备
x5x24
补贴金额y(万元)y1=kx(k≠0)2y2=ax2+bx(a≠0)2.43.2
如图,在平面直角坐标系中,一抛物线的对称轴为直线x=1,与y轴负半轴交于C点,与x轴交于A、B两点,其中B点的坐标为(3,0),且OB=OC.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若点G(2,y)是该抛物线上一点,点P是直线AG下方的抛物线上一动点,当点P运动到什么位置时,△APG的面积最大?求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.
(3)若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点(其中点M在点N的右侧),在x轴上是否存在点Q,使△MNQ为等腰直角三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
二次函数y=
2
3
x2
的图象如图,点A0位于坐标原点,点A1,A2,A3…An在y轴的正半轴上,点B1,B2,B3…Bn在二次函数位于第一象限的图象上,点C1,C2,C3…Cn在二次函数位于第二象限的图象上,四边形A0B1A1C1,四边形A1B2A2C2,四边形A2B3A3C3…四边形An-1BnAnCn都是菱形,∠A0B1A1=∠A1B2A2=∠A2B3A3…=∠An-1BnAn=60°,菱形An-1BnAnCn的周长为______.
如图,已知二次函数y=-
1
2
x2+4x+c的图象经过坐标原点,并且与函数y=
1
2
x的图象交于O、A两点.
(1)求c的值;
(2)求A点的坐标;
(3)若一条平行于y轴的直线与线段OA交于点F,与这个二次函数的图象交于点E,求线段EF的最大长度.