如图,已知二次函数y=-12x2+4x+c的图象经过坐标原点,并且与函数y=12x的图象交于O、A两点.(1)求c的值;(2)求A点的坐标;(3)若一条平行于y

如图,已知二次函数y=-12x2+4x+c的图象经过坐标原点,并且与函数y=12x的图象交于O、A两点.(1)求c的值;(2)求A点的坐标;(3)若一条平行于y

题型:不详难度:来源:
如图,已知二次函数y=-
1
2
x2+4x+c的图象经过坐标原点,并且与函数y=
1
2
x的图象交于O、A两点.
(1)求c的值;
(2)求A点的坐标;
(3)若一条平行于y轴的直线与线段OA交于点F,与这个二次函数的图象交于点E,求线段EF的最大长度.
答案
(1)(0,0)代入y=-
1
2
x2+4x+c
解得:c=0.

(2)根据题意得到





y=-
1
2
x2+4x+c
y=
1
2
x

解得





x=7
y=
7
2

则A(7,
7
2
).

(3)设此直线为x-a,则E(a,-
a2
2
+4a),F(a,
a
2
),
∴EF=-
1
2
a2+4a-
1
2
a=-
1
2
a2+
7
2
a
=-
1
2
(a-
7
2
2+
49
8

∴当a=
7
2
时,EF最大长度为
49
8
举一反三
如图,抛物线y1=-ax2-ax+1经过点P(-
1
2
9
8
),且与抛物线y2=ax2-ax-1相交于A,B两点.
(1)求a值;
(2)设y1=-ax2-ax+1与x轴分别交于M,N两点(点M在点N的左边),y2=ax2-ax-1与x轴分别交于E,F两点(点E在点F的左边),观察M,N,E,F四点的坐标,写出一条正确的结论,并通过计算说明;
(3)设A,B两点的横坐标分别记为xA,xB,若在x轴上有一动点Q(x,0),且xA≤x≤xB,过Q作一条垂直于x轴的直线,与两条抛物线分别交于C,D两点,试问当x为何值时,线段CD有最大值,其最大值为多少?
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如图,抛物线y=(x+1)2+k与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,-3)
(1)求抛物线的对称轴及k的值;
(2)抛物线的对称轴上存在一点P,使得PA+PC的值最小,求此时点P的坐标;
(3)点M是抛物线上的一动点,且在第三象限.
①当M点运动到何处时,△AMB的面积最大?求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标;
②当M点运动到何处时,四边形AMCB的面积最大?求出四边形AMCB的最大面积及此时点的坐标.
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如图,抛物线y=
1
2
x2+mx+n交x轴于A、B两点,交y轴于点C,点P是它的顶点,点A的坐标是(1,0),点B的坐标是(-3,0).
(1)求m、n的值;
(2)求直线PC的解析式.
[温馨提示:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(-
b
2a
4ac-b2
4a
)].
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体育课上,老师训练学生的项目是投篮,假设一名同学投篮后,篮球运行的轨迹是一段抛物线,将所得轨迹形成的抛物线放在如图所示的坐标系中,得到解析式为y=-
1
5
x2+
2
5
x+3.3(单位:m).请你根据所得的解析式,回答下列问题:
(1)球在空中运行的最大高度为多少米;
(2)如果一名学生跳投时,球出手离地面的高度为2.25m,请问他距篮球筐中心的水平距离是多少?
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如图,矩形ABCD的顶点B、C在x轴上,A、D在抛物线y=ax2+bx上,且y=ax2+bx的最大值是2,y=ax2+bx与x轴的正半轴的交点E的坐标是(2,0).
(1)求a,b的值;
(2)若矩形的顶点均为动点,且矩形在抛物线与x轴围成的封闭区域内,试探索:是否存在周长为3的矩形?若存在,求出此时B点的坐标;若不存在说明理由.
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