如图，已知二次函数y=-12x2+4x+c的图象经过坐标原点，并且与函数y=12x的图象交于O、A两点．（1）求c的值；（2）求A点的坐标；（3）若一条平行于y

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如图，已知二次函数y=-

x²+4x+c的图象经过坐标原点，并且与函数y=

x的图象交于O、A两点．
（1）求c的值；
（2）求A点的坐标；
（3）若一条平行于y轴的直线与线段OA交于点F，与这个二次函数的图象交于点E，求线段EF的最大长度．

答案

（1）（0，0）代入y=-

x²+4x+c
解得：c=0．

（2）根据题意得到

y=-

x2+4x+c

，
解得

x=7

，
则A（7，

）．

（3）设此直线为x-a，则E（a，-

+4a），F（a，

），
∴EF=-

a²+4a-

a=-

a²+

a
=-

（a-

）²+

∴当a=

时，EF最大长度为

．

举一反三

如图，抛物线y₁=-ax²-ax+1经过点P（-

，

），且与抛物线y₂=ax²-ax-1相交于A，B两点．
（1）求a值；
（2）设y₁=-ax²-ax+1与x轴分别交于M，N两点（点M在点N的左边），y₂=ax²-ax-1与x轴分别交于E，F两点（点E在点F的左边），观察M，N，E，F四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；
（3）设A，B两点的横坐标分别记为x_A，x_B，若在x轴上有一动点Q（x，0），且x_A≤x≤x_B，过Q作一条垂直于x轴的直线，与两条抛物线分别交于C，D

两点，试问当x为何值时，线段CD有最大值，其最大值为多少？

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如图，抛物线y=（x+1）²+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-3）
（1）求抛物线的对称轴及k的值；
（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；
（3）点M是抛物线上的一动点，且在第三象限．
①当M点运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标；
②当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点的坐标．

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如图，抛物线y=

x²+mx+n交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点P是它的顶点，点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（-3，0）．
（1）求m、n的值；
（2）求直线PC的解析式．
[温馨提示：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（-

，

4ac-b2

）]．

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体育课上，老师训练学生的项目是投篮，假设一名同学投篮后，篮球运行的轨迹是一段抛物线，将所得轨迹形成的抛物线放在如图所示的坐标系中，得到解析式为y=-

x²+

x+3.3（

单位：m）．请你根据所得的解析式，回答下列问题：
（1）球在空中运行的最大高度为多少米；
（2）如果一名学生跳投时，球出手离地面的高度为2.25m，请问他距篮球筐中心的水平距离是多少？

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如图，矩形ABCD的顶点B、C在x轴上，A、D在抛物线y=ax²+bx上，且y=ax²+bx的最大值是2，y=ax²+bx与x轴的正半轴的交点E的坐标是（2，0）．
（1）求a，b的值；
（2）若矩形的顶点均为动点，且矩形在抛物线与x轴围成的封闭区域内，试探索：是否存在周长为3的矩形？若存在，求出此时B点的坐标；若不存在说明理由．

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