设f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，当x∈[-1，0]时，f（x）=-2ax+4x3．（Ⅰ） 若f（x）在（0，1]上为增函数，求a的取值范围；（Ⅱ） 是
题型：不详难度：来源：
设f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，当x∈[-1，0]时，f（x）=-2ax+4x3．
（Ⅰ） 若f（x）在（0，1]上为增函数，求a的取值范围；
（Ⅱ） 是否存在正整数a，使f（x）的图象的最高点落在直线y=12上？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． |
答案
因为当x∈[-1，0]时，f（x）=-2ax+4x3．
所以当x∈（0，1]时，f（x）=f（-x）=2ax-4x3，
∴f(x)= | | -2ax+4x3，-1≤x≤0 | | 2ax-4x3，0＜x≤1. |
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（Ⅰ）由题设f（x）在（0，1]上为增函数，∴f"（x）≥0在x∈（0，1]恒成立，
即2a-12x2≥0对x∈（0，1]恒成立，于是，a≥6x2，从而a≥（6x2）max=6．
即a的取值范围是[6，+∞）
（Ⅱ）因f（x）为偶函数，故只需研究函数f（x）=2ax-4x3在x∈（0，1]的最大值．
令f"（x）=2a-12x2=0，得x=．…（8分）
若∈（0，1]，即0＜a≤6，则[f(x)]max=f()=2a×-4()3＜2a×≤12，
故此时不存在符合题意的a；
若＞1，即a＞6，则f（x）在（0，1]上为增函数，于是[f（x）]max=f（1）=2a-4．
令2a-4=12，故a=8．综上，存在a=8满足题设．…（12分） |
举一反三
已知函数f（x）=x2-alnx（a∈R）．
（1）求函数f （x）的单调区间；
（2）求证：x＞1时，x2+lnx＜x3． |
（理）已知函数f(x)=x-ax2-ln(1+x)，其中a∈R．
（Ⅰ）若x=2是f（x）的极值点，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范围． |
已知函数f(x)=x2-lnx．
（I）求f（x）的单调区间；
（II）若g(x)=-x3+x2，证明当x＞1时，函数f(x)的图象恒在函数g(x)的图象的上方． |
已知函数f(x)=ax2-(a+1)x+ln(x+1)
（Ⅰ）如果f（x）在区间（1，2）不单调，求a的取值范围；
（Ⅱ）如果a＞0，设函数g（x）=f（x）+ax，求函数g（x）的极大值． |
已知函数f（x）=x2-ax-aln（x-1）（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）试判断是否存在实数a（a≥1），使y=f（x）的图象与直线y=1+ln无公共点（其中自然对数的底数为无理数且=2.71828…）． |
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