（理）已知函数f(x)=x-12ax2-ln(1+x)，其中a∈R．（Ⅰ）若x=2是f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）在[

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（理）已知函数f(x)=x-12ax2-ln(1+x)，其中a∈R．（Ⅰ）若x=2是f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）在[

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（理）已知函数f(x)=x-
1
2
ax2-ln(1+x)，其中a∈R．
（Ⅰ）若x=2是f（x）的极值点，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范围．
答案
（理）（本小题满分12分）
（Ⅰ）f′(x)=
x(1-a-ax)
x+1
，  x∈(-1，+∞)．
依题意，令f"（2）=0，解得 a=
1
3
．
经检验，a=
1
3
时，符合题意．…（4分）
（Ⅱ）①当a=0时，f′(x)=
x
x+1
．
故f（x）的单调增区间是（0，+∞）；单调减区间是（-1，0）．
②当a＞0时，令f"（x）=0，得x1=0，或x2=
1
a
-1．
当0＜a＜1时，f（x）与f"（x）的情况如下：
解析
举一反三
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x（-1，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）
f"（x）-0+0-
f（x）↘f（x1）↗f（x2）↘
x（-1，x2）x2（x2，x1）x1（x1，+∞）
f"（x）-0+0-
f（x）↘f（x2）↗f（x1）↘
已知函数f(x)=
1
2
x2-lnx．
（I）求f（x）的单调区间；
（II）若g(x)=-
2
3
x3+x2，证明当x＞1时，函数f(x)的图象恒在函数g(x)的图象的上方．
已知函数f(x)=
1
2
ax2-(a+1)x+ln(x+1)
（Ⅰ）如果f（x）在区间（1，2）不单调，求a的取值范围；
（Ⅱ）如果a＞0，设函数g（x）=f（x）+ax，求函数g（x）的极大值．
已知函数f（x）=x2-ax-aln（x-1）（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）试判断是否存在实数a（a≥1），使y=f（x）的图象与直线y=1+ln


2
无公共点（其中自然对数的底数为无理数且=2.71828…）．
函数f(x)=2x-
a
x
的定义域为（0，1]（a＜0），
（1）若a=-1，求函数y=f（x）的值域；
（2）求函数y=f（x）在x∈（0，1]上的最大值和最小值，并求出函数取最值时相应x的值．
已知f（x）=ln（x+1）．
（1）若g(x)=
1
4
x2-x+f(x)，求g（x）在[0，2]上的最大值与最小值；
（2）当x＞0时，求证
1
1+x
＜f(
1
x
)＜
1
x
；
（3）当n∈N+且n≥2时，求证：
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n+1
＜f(n)＜1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
．