已知函数f(x)=12x2-lnx.(I)求f(x)的单调区间;(II)若g(x)=-23x3+x2,证明当x>1时,函数f(x)的图象恒在函数g(x)的图象的
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已知函数f(x)=12x2-lnx.(I)求f(x)的单调区间;(II)若g(x)=-23x3+x2,证明当x>1时,函数f(x)的图象恒在函数g(x)的图象的
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
f(x)=
1
2
x
2
-lnx
.
(I)求f(x)的单调区间;
(II)若
g(x)=-
2
3
x
3
+
x
2
,证明当x>1时,函数f(x)的图象恒在函数g(x)
的图象的上方.
答案
(I)∵
f(x)=
1
2
x
2
-lnx的定义域为(0,+∞)
,
又
f(x)可得:f′(x)=x-
1
x
=
x
2
-1
x
令f"(x)=0,则x=1
当x变化时,f"(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(0,1)
1
(1,+∞)
f"(x)
-
0
+
f(x)
递减
极小值
递增
举一反三
已知函数
f(x)=
1
2
a
x
2
-(a+1)x+ln(x+1)
(Ⅰ)如果f(x)在区间(1,2)不单调,求a的取值范围;
(Ⅱ)如果a>0,设函数g(x)=f(x)+ax,求函数g(x)的极大值.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=x
2
-ax-aln(x-1)(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)试判断是否存在实数a(a≥1),使y=f(x)的图象与直线
y=1+ln
2
无公共点(其中自然对数的底数为无理数且=2.71828…).
题型:不详
难度:
|
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函数
f(x)=2x-
a
x
的定义域为(0,1](a<0),
(1)若a=-1,求函数y=f(x)的值域;
(2)求函数y=f(x)在x∈(0,1]上的最大值和最小值,并求出函数取最值时相应x的值.
题型:不详
难度:
|
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已知f(x)=ln(x+1).
(1)若
g(x)=
1
4
x
2
-x+f(x)
,求g(x)在[0,2]上的最大值与最小值;
(2)当x>0时,求证
1
1+x
<f(
1
x
)<
1
x
;
(3)当n∈N
+
且n≥2时,求证:
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n+1
<f(n)<1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=x
3
+ax-12在区间[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
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