已知函数f(x)=12ax2-(a+1)x+ln(x+1)(Ⅰ)如果f(x)在区间(1,2)不单调,求a的取值范围;(Ⅱ)如果a>0,设函数g(x)=f(x)+
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已知函数f(x)=12ax2-(a+1)x+ln(x+1)(Ⅰ)如果f(x)在区间(1,2)不单调,求a的取值范围;(Ⅱ)如果a>0,设函数g(x)=f(x)+
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
f(x)=
1
2
a
x
2
-(a+1)x+ln(x+1)
(Ⅰ)如果f(x)在区间(1,2)不单调,求a的取值范围;
(Ⅱ)如果a>0,设函数g(x)=f(x)+ax,求函数g(x)的极大值.
答案
(I
f′(x)=
a
x
2
-x- a
x+1
设h(x)=ax
2
-x-a=0的两个根为x
1
,x
2
由韦达定理得x
1
•x
2
=1
∵f(x)在区间(1,2)不单调
∴h(x)=0在区间(1,2)上h(x)=0有且仅有一个根,另一个根小于1,
则h(1)h(2)<0
即(a-1-a)(4a-2-a)<0
解得
a>
2
3
(II)
g′(x)=
ax[x-(
1
a
-1)]
x+1
①当a=1时,函数g(x)无极值
②当a>1时,在
(-1,
1
a
-1)上
,g′(x)>0,g(x)单调递增,
在
(
1
a
-1,0)
上,g′(x)<0,g(x)单调递减
在(0,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增
∴当
x=
1
a
-1
时,g(x)取得极大值为
1
2
a-
1
2a
-1-lna
③当0<a<1时,函数g(x)在区间
(-1,0)和(
1
a
-1,+∞)
上是增函数,在区间
(0,
1
a
-1)
是减函数
所以函数g(x)的极大值为g(0)=0
举一反三
已知函数f(x)=x
2
-ax-aln(x-1)(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)试判断是否存在实数a(a≥1),使y=f(x)的图象与直线
y=1+ln
2
无公共点(其中自然对数的底数为无理数且=2.71828…).
题型:不详
难度:
|
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函数
f(x)=2x-
a
x
的定义域为(0,1](a<0),
(1)若a=-1,求函数y=f(x)的值域;
(2)求函数y=f(x)在x∈(0,1]上的最大值和最小值,并求出函数取最值时相应x的值.
题型:不详
难度:
|
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已知f(x)=ln(x+1).
(1)若
g(x)=
1
4
x
2
-x+f(x)
,求g(x)在[0,2]上的最大值与最小值;
(2)当x>0时,求证
1
1+x
<f(
1
x
)<
1
x
;
(3)当n∈N
+
且n≥2时,求证:
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n+1
<f(n)<1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=x
3
+ax-12在区间[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
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函数:f(x)=3+xlnx的单调递增区间是( )
A.(0,
1
e
)
B..(e,+∞)
C.(
1
e
,+∞)
D.(
1
e
,e)
题型:汕头模拟
难度:
|
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