在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=2cosαy=2+2sinα(α为参数)M是C1上的动点,P点满足OP=2OM,P点的轨迹为曲线C2(Ⅰ)求C2的

在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=2cosαy=2+2sinα(α为参数)M是C1上的动点,P点满足OP=2OM,P点的轨迹为曲线C2(Ⅰ)求C2的

题型:不详难度:来源:
在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为





x=2cosα
y=2+2sinα
(α为参数)M是C1上的动点,P点满足


OP
=2


OM
,P点的轨迹为曲线C2
(Ⅰ)求C2的方程
(Ⅱ)在以O为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ=
π
3
与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB|.
答案
(I)设P(x,y),则由条件知M(
x
2
y
2
).由于M点在C1上,
所以





x
2
=2cosα
y
2
=2+2sinα





x=4cosα
y=4+4sinα

从而C2的参数方程为





x=4cosα
y=4+4sinα
(α为参数)
(Ⅱ)曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ,曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ.
射线θ=
π
3
与C1的交点A的极径为ρ1=4sin
π
3

射线θ=
π
3
与C2的交点B的极径为ρ2=8sin
π
3

所以|AB|=|ρ21|=2


3
举一反三
已知⊙O的半径为3,直线l与⊙O相切,一动圆与l相切,并与⊙O相交的公共弦恰为⊙O的直径,求动圆圆心的轨迹方程.
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已知A(4,0),N(1,0),若点P满足


AN


AP
=6|


PN
|.
(1)求点P的轨迹方程,并说明该轨迹是什么曲线;
(2)求|


PN
|的取值范围;
(3)若M(-1,0),求∠MPN在[0,π]上的取值范围.
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已知点P是圆x2+y2=4上一动点,定点Q(4,0).
(1)求线段PQ中点的轨迹方程;
(2)设∠POQ的平分线交PQ于R,求R点的轨迹方程.
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求过点(0,2)的直线被椭圆x2+2y2=2所截弦的中点的轨迹方程.
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已知抛物线C:y2=4(x-1),椭圆C1的左焦点及左准线与抛物线C的焦点F和准线l分别重合.
(1)设B是椭圆C1短轴的一个端点,线段BF的中点为P,求点P的轨迹C2的方程;
(2)如果直线x+y=m与曲线C2相交于不同两点M、N,求m的取值范围.
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