已知函数f(x)=12x2-alnx(a∈R).(1)求函数f (x)的单调区间;(2)求证:x>1时,12x2+lnx<23x3.
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已知函数f(x)=12x2-alnx(a∈R).(1)求函数f (x)的单调区间;(2)求证:x>1时,12x2+lnx<23x3.
题型:不详
难度:
来源:
已知函数f(x)=
1
2
x
2
-alnx(a∈R).
(1)求函数f (x)的单调区间;
(2)求证:x>1时,
1
2
x
2
+lnx<
2
3
x
3
.
答案
(1)依题意知函数的定义域为(0,+∞),因为
f′(x)=x-
a
x
,
①当a≤0时,
f′(x)=x-
a
x
>0
,所以f (x)的单调递增区间为(0,+∞)
②当a>0时,因为
f′(x)=x-
a
x
=
x
2
-a
x
=
(x-
a
)(x+
a
)
x
,
令f"(x)>0,有
x>
a
;所以函数f (x)的单调递增区间为(
a
,+∞);
令f"(x)<0,有
0<x<
a
.所以函数f (x)的单调递减区间为
(0,
a
)
.
(2)设
g(x)=
2
3
x
3
-
1
2
x
2
-lnx
,则
g′(x)=2
x
2
-x-
1
x
,
当x>1时,
g′(x)=
(x-1)(2
x
2
+x+1)
x
>0
,
所以g (x)在(1,+∞)上是增函数,所以
g(x)>g(1)=
2
3
-
1
2
>0
所以当x>1时,
1
2
x
2
+lnx<
2
3
x
3
成立.
举一反三
(理)已知函数
f(x)=x-
1
2
a
x
2
-ln(1+x)
,其中a∈R.
(Ⅰ)若x=2是f(x)的极值点,求a的值;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)若f(x)在[0,+∞)上的最大值是0,求a的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
f(x)=
1
2
x
2
-lnx
.
(I)求f(x)的单调区间;
(II)若
g(x)=-
2
3
x
3
+
x
2
,证明当x>1时,函数f(x)的图象恒在函数g(x)
的图象的上方.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
f(x)=
1
2
a
x
2
-(a+1)x+ln(x+1)
(Ⅰ)如果f(x)在区间(1,2)不单调,求a的取值范围;
(Ⅱ)如果a>0,设函数g(x)=f(x)+ax,求函数g(x)的极大值.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=x
2
-ax-aln(x-1)(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)试判断是否存在实数a(a≥1),使y=f(x)的图象与直线
y=1+ln
2
无公共点(其中自然对数的底数为无理数且=2.71828…).
题型:不详
难度:
|
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函数
f(x)=2x-
a
x
的定义域为(0,1](a<0),
(1)若a=-1,求函数y=f(x)的值域;
(2)求函数y=f(x)在x∈(0,1]上的最大值和最小值,并求出函数取最值时相应x的值.
题型:不详
难度:
|
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