如图,一次函数y=x+2的图象分别交轴、轴于A、B两点,O1为以OB为边长的正方形OBCD的对角线的交点.两动点P、Q同时从A点出发在四边形ABCD上运动,其中

如图,一次函数y=x+2的图象分别交轴、轴于A、B两点,O1为以OB为边长的正方形OBCD的对角线的交点.两动点P、Q同时从A点出发在四边形ABCD上运动,其中

题型:不详难度:来源:
如图,一次函数y=x+2的图象分别交轴、轴于A、B两点,O1为以OB为边长的正方形OBCD的对角线的交点.两动点P、Q同时从A点出发在四边形ABCD上运动,其中动点P以每秒


2
个单位长度的速度沿A→B→A运动后停止,动点Q以每秒2个单位长度的速度沿A→O→D→C→B运动.AO1交于轴于点E,设P、Q运动的时间为t秒.
(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)求出E点的坐标和S△ABE的值;
(3)当Q点运动在折线AD→DC上时,是否存在某一时刻t(秒),使得S△ABE:S△APQ=4:3?若存在,请确定t的值;若不存在,请说明理由.
答案
(1)在y=x+2中,令y=0,则x=-2.令x=0,则y=2,
∴A(-2,0),B(0,2),
∴BO=2,
∴OD=2,
∴C(2,2).
设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),





c=2
4a+2b+c=2
4a-2b+c=-2






a=-
1
4
b=
1
2
c=2

∴函数的解析式是:y=-
1
4
x2+
1
2
x+2;

(2)设直线AO的解析式为y=kx+m,
∵A(-2,0),O1(1,1),





-2k+m=0
k+m=1






k=
1
3
m=
2
3

∴y=
1
3
x+
2
3

∴E的坐标是(0,
2
3
);
∴BE=BO-EO=2-
2
3
=
4
3

∴S△ABE=
1
2
BE•AO=
1
2
×
4
3
×2=
4
3


(3)当0≤t≤2时,Q在AD上,P从A到B运动.
过P作PH⊥x轴于点H,
则AQ=2t,AP=


2
t,
∴AH=PH=t,
∴S△APQ=
1
2
AQ•PH=
1
2
•2t•t=t2
∵S△ABE:S△APQ=4:3,
∴S△APQ=1,
∴t2=1.
∵0≤t≤2,
∴t=1.
当2<t≤3时,Q在DC上,P从B向A运动.延长AB、DC交于点F.
过Q作QM⊥AF于M,则∠F=∠BAD=45°,
∴MQ=


2
2
QF.
∵DQ=2t-4,DF=AD=4,
∴QF=4-DQ=8-2t,
∴QM=


2
2
(8-2t).
又AP=2AB-


2
t=4


2
-


2
t,
∴S△APQ=
1
2
AP•QM=
1
2
(4


2
-


2
t)•


2
2
(8-2t)=1
∴(4-t)2=1,
∵2<t≤3,
∴4-t=1,
∴t=3,
故当t=1和3时,S△ABE:S△APQ=4:3.
举一反三
如图所示,某建筑物有一抛物线形的大门,小强想知道这道门的高度.他先测出门的宽度AB=8m,然后用一根长为4m的小竹竿CD竖直地接触地面和门的内壁,并测得AC=1m.小强画出了如图的草图,请你帮他算一算门的高度OE(精确到0.1m).
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已知抛物线y=-x2-2x+a(a>0)与y轴相交于点A,顶点为M.直线y=
1
2
x+
1
2
a
与x轴相交于B点,与直线AM相交于N点;直线AM与x轴相交于C点
(1)求M的坐标与MA的解析式(用字母a表示);
(2)如图,将△NBC沿x轴翻折,若N点的对应点N′恰好落在抛物线上,求a的值;
(3)在抛物线y=-x2-2x+a(a>0)上是否存在一点P,使得以P、B、C、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
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如图,等腰直角三角形纸片ABC中,AC=BC=4,∠ACB=90°,直角边AC在x轴上,B点在第二象限,A(1,0),AB交y轴于E,将纸片过E点折叠使BE与EA所在直线重合,得到折痕EF(F在x轴上),再展开还原沿EF剪开得到四边形BCFE,然后把四边形BCFE从E点开始沿射线EA平移,至B点到达A点停止.设平移时间为t(s),移动速度为每秒1个单位长度,平移中四边形BCFE与△AEF重叠的面积为S.
(1)求折痕EF的长;
(2)是否存在某一时刻t使平移中直角顶点C经过抛物线y=x2+4x+3的顶点?若存在,求出t值;若不存在,请说明理由;
(3)直接写出S与t的函数关系式及自变量t的取值范围.
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已知二次函数y=ax2+bx的图象经过点(2,0)、(-1,6)
(1)求二次函数的解析式;
(2)不用列表,在下图中画出函数图象,观察图象写出y>0时,x的取值范围.
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如图,隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成,矩形的长BC为8m,宽AB为2m,以BC所在的直线为x轴,线段BC的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系.y轴是抛物线的对称轴,顶点E到坐标原点O的距离为6m.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如果该隧道内设双行道,现有一辆货运卡车高4.2m,宽2.4米,这辆货运卡车能否通过该隧道?通过计算说明你的结论.
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