已知二次函数y=x2-mx+m-2．（1）求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点；（2）当该二次函数的图象经过点（3，6）时，求二次函数的解

题型：不详难度：来源：

已知二次函数y=x²-mx+m-2．
（1）求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点；
（2）当该二次函数的图象经过点（3，6）时，求二次函数的解析式；
（3）将直线y=x向下平移2个单位长度后与（2）中的抛物线交于A、B两点（点A在点B的左边），一个动点P自A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．

答案

（1）证明：令y=0，则x²-mx+m-2=0，
∵△=（-m）²-4（m-2）=m²-4m+8=（m-2）²+4，（1分）
又∵（m-2）²≥0，
∴（m-2）²+4＞0，即△＞0．
∴无论m为任何实数，一元二次方程x²-mx+m-2=0总有两不等实根；
∴该二次函数图象与x轴都有两个交点．（2分）

（2）∵二次函数y=x²-mx+m-2的图象经过点（3，6），
∴3²-3m+m-2=6，
解得m=

1

2

；
∴二次函数的解析式为y=x2-

1

2

x-

3

2

．（3分）

（3）将y=x向下平移2个单位长度后得到解析式为：y=x-2，（4分）
解方程组

y=x-2 y=x2- 1 2 x- 3 2

，
得

x1= 1 2 y1=- 3 2

，

x2=1 y2=-1

；
∴直线y=x-2与抛物线y=x2-

1

2

x-

3

2

的交点为A(

1

2

，-

3

2

)

，&B(1，-1)

；
∴点A关于对称轴x=

1

4

的对称点是A′(0，-

3

2

)，
点B关于x轴的对称点是B"（1，1），设过点A"、B"的直线解析式为y=kx+b；
∴

b=- 3 2 k+b=1

，

k= 5 2 b=- 3 2

，
∴直线A"B"的解析式为y=

5

2

x-

3

2

；
∴直线A"B"与x轴的交点为F(

3

5

，0)（5分）
与直线x=

1

4

的交点为E(

1

4

，-

7

8

)（6分）
则点E(

1

4

，-

7

8

)、F(

3

5

，0)为所求；
过点B"做B"H⊥AA"的延长线于点H，
∴B′H=

5

2

，HA"=1；
在Rt△A"B"H中，A′B′=

B′H2+A′H2

=

29

2

，
∴所求最短总路径的长为AE+EF+FB=A"B"=

29

2

．（7分）