已知二次函数y=x2+ax+a-2．（1）求证：不论a为何实数，此函数的图象与x轴总有两个交点；（2）当两个交点间的距离为29时，求a的值；（3）在（2）的条件

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已知二次函数y=x²+ax+a-2．
（1）求证：不论a为何实数，此函数的图象与x轴总有两个交点；
（2）当两个交点间的距离为

时，求a的值；
（3）在（2）的条件下求出函数的最大值或最小值．

答案

（1）令y=0，
则有x²+ax+a-2=0①，
△=a²-4a+8=（a-2）²+4＞0，
因此不论a的值为多少，抛物线总与x轴有两个不同的交点．

（2）设两交点的坐标为（x₁，0）（x₂，0）（x₁＜x₂）；
根据方程①可得
x₁+x₂=-a，x₁x₂=a-2
x₂-x₁=

(x1+x2)2-4x1x2

a2-4a+8

∴a²-4a+8=29，即a²-4a-21=0
∴a=-3或a=7．

（3）当a=-3时，y=x²-3x-5=（x-

）²-

∴函数的最小值为-

当a=7时，y=x²+7x+5=（x+

）²-

∴函数的最小值为-

．

举一反三

某工厂A车间接到生产一批自行车的订单，要求必须在12天（含12天）内完成．已知每辆自行车的成本价为800元．该车间平时每天能生产自行车20辆．为了加快进度，车间采取工人分批日夜加班，机器满负荷运转的生产方式，生产效率得到了提高．这样，第一天生产了22辆，以后每天生产的自行车都比前一天多2辆．由于机器损耗等原因，当每天生产的自行车达到30辆后，每增加1辆自行车，当天生产的所有自行车平均每辆的成本就增加20元．设生产这批自行车的时间为x天，每天生产的自行车为y辆．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）若这批自行车的订购价格为每辆1200元，该车间决定把获得最高利润的那一天的全部利润捐献给灾区．设该车间每天的利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，并求出该车间捐献给灾区多少钱？

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已知二次函数y=-x²+mx+n，当x=3时，有最大值4．
（1）求m、n的值．
（2）设这个二次函数的图象与x轴的交点是A、B，求A、B点的坐标；
（3）当y＜0时，求x轴的取值范围；
（4）有一圆经过点A、B，且与y轴的正半轴相切于点C，求C点的坐标．

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已知抛物线y=-x²-（m-4）x+3（m-1）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求m的取值范围；
（2）若m≤0，直线y=kx-1，经过点A，与y轴交于点D，且AD×BD=2

，求抛物线的解析式；
（3）若点A在点B的左边，在第一象限内，（2）中所得抛物线上是否存在一点P，使直线PA平分△ACD的面积？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．

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已知：⊙O的面积为4π，△ABC内接于⊙O，a、b、c分别是三角形三个内角∠A、∠B、∠C的对边的长，关于x的方程（a+c）x²-2bx+c-a=0有两个相等的实数根，cosA，cosB是二次函数y=[m-（

-1）]x²-[m+（

-1）]x+

的图象与x轴的两个交点的横坐标．求△ABC三边的长．

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已知二次函数y=x²-（2m+4）x+m²-4（x为自变量）的图象与y轴的交点在原点的下方，与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，且A、B两点到原点的距离AO、OB满足3（OB-AO）=2AO•OB，直线y=kx+k与这个二次函数图象的一个交点为P，且锐角∠POB的正切值为4．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）确定直线y=kx+k的解析式．

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