已知:a,b,c是△ABC的三边长,c为整数,抛物线y=x2-(a+b)x+c2-8a-8与x轴相交于点M,N(点M在N的左侧),顶点为P,点(a-bsinC,
题型:不详难度:来源:
已知:a,b,c是△ABC的三边长,c为整数,抛物线y=x2-(a+b)x+c2-8a-8与x轴相交于点M,N(点M在N的左侧),顶点为P,点(a-bsinC,m)与点(asinC-b,m)关于y轴对称. (1)判断△ABC的形状; (2)若抛物线与直线y=x-14相交于点P和D(6,-8),在抛物线上求作一点Q,使∠QMP=90°. |
答案
(1)∵点(a-bsinC,m)与点(asinC-b,m)关于y轴对称, ∴a-bsinC+asinC-b=(a-b)+(a-b)sinC=(a-b)(sinC+1)=0; ∵0°<∠C<180°,即sinC+1≠0, ∴a=b;即△ABC是等腰三角形.
(2)由(1)知:a=b,则y=x2-2ax+c2-8a-8,P(a,c2-a2-8a-8); ∵P点在直线y=x-14的图象上, ∴a-14=c2-a2-8a-8;① ∵抛物线过D(6,-8), ∴36-12a+c2-8a-8=-8;② 联立①②,得:
| a-14=c2-a2-8a-8 | 36-12a+c2-8a-8=-8 |
| | , 解得(c取整数); ∴抛物线的解析式为y=x2-10x+16,P(5,-9),M(2,0),N(8,0); 设直线MP的解析式为y=kx+b(k≠0),则: , 解得; ∴直线MP的解析式为y=-3x+6; 设直线MQ的解析式为y=mx+n(m≠0),由于∠PMQ=90°, 得mk=-1,即m=; 则y=x+n;已知M点坐标为(2,0),则有:+n=0,n=-; ∴直线MQ的解析式为y=x-; 联立抛物线的解析式,得: , 解得,; ∴Q点的坐标为(,). |
举一反三
某水果店批发一种成本为每箱30元的柚子,据市场分析,若按每箱40元批发,一个月能批发500箱;若每箱批发价涨1元,月批发量就减少10箱,若批发价定为每箱x元,月利润为y元 (1)求月利润(y)与批发价(x)的函数关系式. (2)当批发价定为每箱多少元时,月利润y最大,最大利润是多少元? |
已知抛物线y=x2-4x+c的顶点P在直线y=-4x-1上. (1)求c的值; (2)求抛物线与x轴两交点M、N的坐标(点M在点N的左边),并求△PMN的面积. |
用总长为60m的篱笆围成矩形场地,场地面积S(m2)与矩形一边长a(m)之间的二次函数表达式为______. |
某校八年级学生小丽,小强和小红到某超市参加了社会实践活动,在活动中他们参与了某种水果的销售工作,已知该水果的进价为8元/千克,下面是他们在活动结束后的对话. 小丽:如果以10元/千克的价格销售,那么每天可售出300千克. 小强:如果以13元/千克的价格销售,那么每天可获取利润750元. 小红:通过调查验证,我发现每天的销售量y(千克)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系. (1)求y(千克)与x(元)(x>0)的函数关系式; (2)当销售单价为何值时,该超市销售这种水果每天获得的利润达600元?[利润=销售量×(销售单价-进价)]. (3)一段时间后,发现这种水果每天的销售量均低于225千克,则此时该超市销售这种水果每天获取的利润最大是多少? |
抛物线y=x2-2x-m,若其顶点在x轴上,则m=______. |
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