如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．（1）求二次函数的解析式； （2）点P在x

题型：浙江省中考真题难度：来源：

如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；
（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．
①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；
②若圆M的半径为，求点M的坐标．

答案

解：（1）设该二次函数的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2），
将x=0，y=﹣2代入，
得﹣2=a（0+1）（0﹣2），
解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x+1）（x﹣2），
即y=x²﹣x﹣2；
（2）设OP=x，则PC=PA=x+1，
在Rt△POC中，由勾股定理，得x²+2²=（x+1）²，
解得，x=，即OP=；
（3）①∵△CHM∽△AOC，∴∠MCH=∠CAO，
（i）如图1，当H在点C下方时，
∵∠MCH=∠CAO，
∴CM∥x轴，
∴y_M=﹣2，
∴x²﹣x﹣2=﹣2，
解得x₁=0（舍去），x₂=1，
∴M（1，﹣2），
（ii）如图1，当H在点C上方时，
∵∠MCH=∠CAO，
∴PA=PC，
由（2）得，M为直线CP与抛物线的另一交点，
设直线CM的解析式为y=kx﹣2，
把P（，0）的坐标代入，
得k﹣2=0，
解得k=，
∴y=x﹣2，
由x﹣2=x²﹣x﹣2，
解得x₁=0（舍去），x₂=，
此时y=×﹣2=，
∴M"（，），
②在x轴上取一点D，如图（备用图），过点D作DE⊥AC于点E，使DE=，
在Rt△AOC中，AC===，
∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD，
∴△AED∽△AOC，
∴=，即=，
解得AD=2，
∴D（1，0）或D（﹣3，0）．
过点D作DM∥AC，交抛物线于M，如图（备用图）
则直线DM的解析式为：y=﹣2x+2或y=﹣2x﹣6，
当﹣2x﹣6=x²﹣x﹣2时，即x²+x+4=0，方程无实数根，
当﹣2x+2=x²﹣x﹣2时，即x²+x﹣4=0，解得x₁=，x₂=，
∴点M的坐标为（，3+）或（，3﹣）．