如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，三个交点的坐标分别为A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）

题型：湖北省中考真题难度：来源：

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，三个交点的坐标分别为A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）若P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC面积的最大值和此时P点的坐标；
（3）若P为抛物线在第一象限上的一个动点，过点P作PQ∥AC交x轴于点Q．当点P的坐标为 _________ 时，四边形PQAC是平行四边形；当点P的坐标为 _________ 时，四边形PQAC是等腰梯形（直接写出结果，不写求解过程）．

答案

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c过点C（0，3）
∴当x=0时，c=3．
又∵抛物线y=ax²+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0）
∴，解得
∴抛物线的解析式为：y=﹣x²+2x+3
又∵y=﹣x²+2x+3，y=﹣（x﹣1）²+4
∴顶点D的坐标是（1，4）．
（2）设直线BD的解析式为y=kx+n（k≠0）
∵直线y=kx+n过点B（3，0），D（1，4）
∴，解得
∴直线BD的解析式：y=﹣2x+6
∴P点在线段BD上，因此，设点P坐标为（m，﹣2m+6）
又∵PM⊥x轴于点M，∴PM=﹣2m+6，OM=m
又∵A（﹣1，0），C（3，0）∴OA=1，OC=3
设四边形PMAC面积为S，则
S=OAOC+（PM+OC）OM=×（﹣2m+6+3）m
=﹣m²+m+=﹣（m﹣）²+
∵13
∴当m=时，四边形PMAC面积的最大值为
此时，P点坐标是（，）．
（3）答案：（2，3）；（，）．