解:(1)∵经过点(﹣3,0), ∴0=+m,解得m=, ∴直线解析式为,C(0,). ∵抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=1,且与x轴交于A(﹣3,0), ∴另一交点为B(5,0), 设抛物线解析式为y=a(x+3)(x﹣5), ∵抛物线经过C(0,), ∴=a3(﹣5),解得a=, ∴抛物线解析式为y=x2+x+; (2)假设存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形, 则AC∥EF且AC=EF. 如答图1, (i)当点E在点E位置时,过点E作EG⊥x轴于点G, ∵AC∥EF,∴∠CAO=∠EFG, 又∵, ∴△CAO≌△EFG, ∴EG=CO=,即yE=, ∴=xE2+xE+,解得xE=2(xE=0与C点重合,舍去), ∴E(2,),SACEF=; (ii)当点E在点E′位置时,过点E′作E′G′⊥x轴于点G′, 同理可求得E′(+1,), SACE′F′=. (3)要使△ACP的周长最小,只需AP+CP最小即可. 如答图2,连接BC交x=1于P点,因为点A、B关于x=1对称,根据轴对称性质以及两点之间线段最短, 可知此时AP+CP最小(AP+CP最小值为线段BC的长度). ∵B(5,0),C(0,),∴直线BC解析式为y=x+, ∵xP=1,∴yP=3,即P(1,3). 令经过点P(1,3)的直线为y=kx+3﹣k, ∵y=kx+3﹣k,y=x2+x+, 联立化简得:x2+(4k﹣2)x﹣4k﹣3=0, ∴x1+x2=2﹣4k,x1x2=﹣4k﹣3. ∵y1=kx1+3﹣k,y2=kx2+3﹣k,∴y1﹣y2=k(x1﹣x2). 根据两点间距离公式得到: M1M2=== ∴M1M2===4(1+k2). 又M1P===; 同理M2P= ∴M1PM2P=(1+k2)=(1+k2)=(1+k2)=4(1+k2). ∴M1PM2P=M1M2, ∴=1为定值. |
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