如图所示，△ABC中，∠A=30°，AB=4，AC=6，P为AC上任一点（点P与点A，C都不重合），过点P作PD∥AB，交BC于D，设AP=x。（1）求△BPD

题型：期末题难度：来源：

如图所示，△ABC中，∠A=30°，AB=4，AC=6，P为AC上任一点（点P与点A，C都不重合），过点P作PD∥AB，交BC于D，设AP=x。
（1）求△BPD的面积S与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）点P在AC上什么位置时，△BPD的面积最大，此时线段PD长度是多少？

答案

解：（1）过P作PE⊥AB于E，
∵PD∥AB，
∴△CPD∽△CAB，
∴，
即，PD=（6﹣x），
在Rt△APE中，∠A=30°，AP=x，
∴PE=x
S_△BPD=PD·PE=×（6﹣x）×x
=﹣x²+x（0＜x＜6）；
（2）∵﹣＜0，
∴函数有最大值，
当x=﹣=3，即P为AC中点时，△BPD面积最大，此时PD的长为2。