如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A"B"O．（1）一抛物线

题型：山东省中考真题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A"B"O．
（1）一抛物线经过点A"、B"、B，求该抛物线的解析式；
（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB"A"B的面积是△A"B"O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB"A"B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB"A"B的两条性质．

答案

解：（1）△A"B"O是由△ABO绕原点O
逆时针旋转90°得到的，
又A（0，1），B（2，0），O（0，0），
∴A"（﹣1，0），B"（0，2）．
设抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c(a≠0)，
∵抛物线经过点A"、B"、B，
∴，
解之得，
∴满足条件的抛物线的解析式为y=﹣x²+x+2；
（2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点，
设P（x，y），则x＞0，y＞0，P点坐标满足y=﹣x²+x+2．
连接PB，PO，PB"，
∴S_{四边形PB"A"B}=S_△B"OA"+S_△PB"O+S_△POB

=x+(﹣x²+x+2)+1
=﹣x²+2x+3，
假设四边形PB"A"B的面积是△A"B"O面积的4倍，
则﹣x²+2x+3=4，
即x²﹣2x+1=0，解之得x=1，
此时y=﹣1²+1+2=2，即P(1，2)，
∴存在点P（1，2），
使四边形PB"A"B的面积是△A"B"O面积的4倍；
（3）四边形PB"A"B为等腰梯形；
答案不唯一，下面性质中的任意2个均可．
①等腰梯形同一底上的两个内角相等；
②等腰梯形对角线相等；
③等腰梯形上底与下底平行；
④等腰梯形两腰相等．
或用符号表示：
①∠B"A"B=∠PBA"或∠A"B"P=∠BPB"；
②PA"=B"B；
③B"P∥A"B；
④B"A"=PB．