如图，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A．B．C．D四个顶点

题型：江苏中考真题难度：来源：

如图，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A．B．C．D四个顶点正好重合于上底面上一点）．已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x（cm）．
（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；
（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？

答案

解：（1）根据题意，知这个正方体的底面边长a=x，EF==2x，
∴x+2x+x=24，解得：x=6，
则 a=6，V=a³==432（cm³）；
（2）设包装盒的底面边长为acm，高为hcm，
则a=，h=，
∴S=4ah+a²=4x（12﹣x）+
      =﹣6x²+96x
      =﹣6（x﹣8）²+384，
∵0＜x＜12，
∴当x=8时，S取得最大值384cm²．