设离心率e=12的椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是x轴正半轴上一点,以PF1为直径的圆经过椭圆M短轴端点,且该圆和

设离心率e=12的椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是x轴正半轴上一点,以PF1为直径的圆经过椭圆M短轴端点,且该圆和

题型:大连一模难度:来源:
设离心率e=
1
2
的椭圆M:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦点分别为F1、F2,P是x轴正半轴上一点,以PF1为直径的圆经过椭圆M短轴端点,且该圆和直线x+


3
y+3=0
相切,过点P的直线与椭圆M相交于相异两点A、C.
(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(Ⅱ)若相异两点A、B关于x轴对称,直线BC交x轴与点Q,求


QA


QC
的取值范围.
答案
(Ⅰ)设以|PF1|为直径的圆经过椭圆M短轴端点N,
∴|NF1|=a,∵e=
1
2
,∴a=2c,
∠NF1P=
π
3
,|PF1|=2a.
∴F2(c,0)是以|PF1|为直径的圆的圆心,
∵该圆和直线x+


3
y+3=0
相切,
2c=
|c+3|


1+(


3
)
2
,解得c=1,a=2,b=


3

∴椭圆M的方程为:
x2
4
+
y2
3
=1

(Ⅱ)设点A(x1,y1),C(x2,y2),则点B(x1,-y1),
设直线PA的方程为y=k(x-3),
联立方程组





x2
4
+
y2
3
=1
y=k(x-3).
,消掉y,化简整理得(4k2+3)x2-24k2x+36k2-12=0,
由△=(24k22-4•(3+4k2)•(36k2-12)>0,得0<k2
3
5

x1+x2=
24k2
4k2+3
x1x2=
36k2-12
4k2+3

直线BC的方程为:y+y1=
y2+y1
x2-x1
(x-x1)

令y=0,则x=
y1x2+y2x1
y1+y2
=
2x1x2-3(x1+x2)
x1+x2-6
=
72k2-24
4k2+3
-
72k2
4k2+3
24k2
4k2+3
-6
=
4
3

∴Q点坐标为(
4
3
,0)



QA


QC
=(x1-
4
3
)(x2-
4
3
)+y1y2=(x1-
4
3
)(x2-
4
3
)+k2(x1-3)(x2-3)

=(1+k2)x1x2-(3k2+
4
3
)(x1+x2)+9k2+
16
9

=(1+k2)•
36k2-12
4k2+3
-(3k2+
4
3
)•
24k2
4k2+3
+9k2+
16
9

=
19k2-12
4k2+3
+
16
9
=
235
36
-
105
16k2+12

0<k2
3
5



QA


QC
∈(-
20
9
5
3
)
举一反三
向量


a
=(1,2),


b
=(0,2),则


a


b
=(  )
A.2B.(0,4)C.4D.(1,4)
题型:不详难度:| 查看答案
如图,Rt△ABC中,∠C=90°,其内切圆切AC与D点,O为圆心.若|


AD
|=2|


CD
|=2
魔方格
,则


BO


AC
=______.
题型:不详难度:| 查看答案
给定椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,称圆心在原点O、半径是


a2+b2
的圆为椭圆C的“准圆”.已知椭圆C的一个焦点为F(


2
,0)
,其短轴的一个端点到点F的距离为


3

(1)求椭圆C和其“准圆”的方程;
(2)若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点,B,D是椭圆C上的两相异点,且BD⊥x轴,求


AB


AD
的取值范围;
(3)在椭圆C的“准圆”上任取一点P,过点P作直线l1,l2,使得l1,l2与椭圆C都只有一个交点,试判断l1,l2是否垂直?并说明理由.
题型:黄埔区一模难度:| 查看答案
圆C的方程为(x-2)2+y2=4,圆M的方程为(x-2-5cosθ)2+(y-5sinθ)2=1(θ∈R),过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE,PF,切点分别是E,F,则


PE


PF
的最小值是(  )
A.12B.10C.6D.5
题型:湖北模拟难度:| 查看答案
设M是△ABC内一点,


AB


AC
=2


3
,∠BAC=30°
,定义f(x)=(m,n,p),其中m,n,p分别是△MBC,△MAC,△MAB的面积,若f(Q)=(
1
2
,x,y)
1
x
+
4
y
=a , 则
a2+2
a
的取值范围是______.
题型:不详难度:| 查看答案
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