比较大小

　　一、法则法

　　比较实数大小的法则是：正数都大于零，零大于一切负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小。

　　例1 比较与的大小。

　　析解：由于，且，所以。

　　说明：利用法则比较实数的大小是最基本的方法，对于两个负数的大小比较，可将它转化成正数进行比较。

　　二、平方法

　　用平方法比较实数大小的依据是：对任意正实数a、b有：。

　　例2 比较与的大小。

　　析解：由于，而，所以。

　　说明：本题也可以把外面的因数移到根号内，通过比较被开方数大小来比较原数的大小，目的是把含有根号的无理数的大小比较实数转化成有理数进行比较。

　　三、数形结合方法

　　用数形结合法比较实数大小的理论依据是：在同一数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。

　　例3 若有理数a、b、c对应的点在数轴上的位置如图1所示，试比较a、-a、b、-b、c、-c的大小。

　　析解：如图2，利用相反数及对称性，先在数轴上把数a、-a、b、-b、c、-c表示的点画出来，容易得到结论：

　　四、估算法

　　用估算法比较实数的大小的基本思路是：对任意两个正实数a、b，先估算出a、b两数的取值范围，再进行比较。

　　例4 比较与的大小。

　　析解：由于，故，所以

　　五、倒数法

　　用倒数法比较实数的大小的依据是：对任意正实数a、b有：

　　例5 比较与的大小

　　析解：因为，

　　又因为，

　　所以

　　所以

　　说明：对于两个形如(，且k是常数)的实数，常采用倒数法来比较它们的大小。

　　六、作差法

　　用作差法比较实数的大小的依据是：对任意实数a、b有：

　　例6 比较与的大小。

　　析解：设，

　　则

　　所以

　　七、作商法

　　用作商法比较实数的大小的依据是：对任意正数a、b有：

　　例7 比较与的大小。

　　析解：设，，则

　　即

　　八、放缩法

　　用放缩法比较实数的大小的基本思想方法是：把要比较的两个数进行适当的放大或缩小，使复杂的问题得以简化，来达到比较两个实数的大小的目的。

　　例8 比较与198的大小。

　　析解：由于

　　所以

　　取n=2，3，4…10000代入上式，并将所得的不等式相加得：　　

　　即

　　所以