竖直平面内有一光滑圆弧形轨道，O为最低点，A、B两点距0点的高度分别为h和4h，现从A点释放一质量为M的大物体，且每隔适当的时间从B点释放一质量为m的小物体，它

题型：盐城二模难度：来源：

竖直平面内有一光滑圆弧形轨道，O为最低点，A、B两点距0点的高度分别为h和4h，现从A点释放一质量为M的大物体，且每隔适当的时间从B点释放一质量为m的小物体，它们和大物体碰撞后都结为一体，已知M=100m，
（1）若每当大物体向右运动到O点时，都有一个小物体与之碰撞，问碰撞多少次后大物体的速度最小？
（2）若大物体第一次向右运动到0点时，和小物体碰撞，以后每当大物体向左运动到0点时，才与一个小物体碰撞，问共碰撞多少次后大物体能越过A点？
（3）若每当大物体运动到0点时，都有一个小物体与之碰撞，问碰撞50次后，大物体运动的最大高度为h的几分之几？

答案

（1）设A、B在O点的速度大小分别为v_A、v_B．
由机械能守恒定律得：Mgh=

1

2

M

v

2A

，mg•4h=

1

2

m

v

2B

解得，v_A=

2gh

，v_B=2

2gh

设碰撞n次后大物体的速度最小，最小速度为零，则根据动量守恒得：
  Mv_A-nmv_B=（M+m）v
当v=0时，Mv_A-nmv_B=0，则得n=50次
（2）当大物体的速度达到v_A时，恰好能越过A点．
 第一次碰撞：Mv_A-mv_B=（M+m）v
 设再碰撞k次：（M+m）v+kmv_B=（M+m+km）v_A，
联立解得 k=3
故共碰4次．
（3）第1次碰撞：Mv_A-mv_B=（M+m）v₁，
    第2次碰撞：（M+m）v₁+mv_B=（M+2m）v₂，
    第3次碰撞：（M+m）v₂-mv_B=（M+3m）v₃，
    第4次碰撞：（M+m）v₃+mv_B=（M+4m）v₄，
   …
第50次碰撞：（M+49m）v₄₉+mv_B=（M+50m）v₅₀，
联立解得，v₅₀=

2

3

vA
根据机械能守恒得：Mgh′=

1

2

m(v50)2
解得h′=

4

9

h
答：
（1）若每当大物体向右运动到O点时，都有一个小物体与之碰撞，碰撞50次后大物体的速度最小．
（2）若大物体第一次向右运动到0点时，和小物体碰撞，以后每当大物体向左运动到0点时，才与一个小物体碰撞，共碰撞4次后大物体能越过A点．
（3）若每当大物体运动到0点时，都有一个小物体与之碰撞，碰撞50次后，大物体运动的最大高度为h的

4

9

．