定义在R上的函数f（x）满足①对任意x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）②当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2（1）求f（0）值；（2）判断函数f（
题型：解答题难度：一般来源：不详
定义在R上的函数f（x）满足
①对任意x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）
②当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2
（1）求f（0）值；
（2）判断函数f（x）奇偶性；
（3）判断函数f（x）的单调性；
（4）解不等式f（x2-2x）-f（x）≥-8． |
答案
∵对任意x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）
（1）取x=y=0，可得f（0）=0，
（2）取y=-x，可得f（x）+f（-x）=f（0）=0，
所以f（-x）=-f（x），f（x）是奇函数
（3）任取x1＜x2，
则 x2-x1＞0
∴f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）
又∵当x＞0时，f（x）＜0，
f（x2）-f（x1）＜0，
可得 f（x1）＞f（x2），
所以f（x） 在R上是减函数
（4）∵f（1）=-2
∴f（2）=f（1）+f（1）=-4，
f（4）=f（2）+f（2）=-8
∴不等式f（x2-2x）-f（x）≥-8
可化为f（x2-2x）-f（x）≥f（4）
即f（x2-2x）≥f（x）+f（4）
即x2-2x≤x+4
即x2-3x-4≤0
解得-1≤x≤4
故不等式f（x2-2x）-f（x）≥-8的解集为[-1，4] |
举一反三
已知函数f（x）=x3+mx，g（x）=nx2+n2，F（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数F（x）在x=l处有极值为10，求曲线F（x）在（0，F（0））处的切线方程；
（Ⅲ）若n2＜3m，不等式F()＞F()对∀x∈（1，+∞）恒成立，求整数k的最大值． |
已知函数f(x)=x2+(a-3)x+lnx．
（Ⅰ）若函数f（x）是定义域上的单调函数，求实数a的最小值；
（Ⅱ）方程f(x)=(-a)x2+(a-2)x+2lnx．有两个不同的实数解，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在函数f（x）的图象上是否存在不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点的横坐标为x0，有f′（x0）=成立？若存在，请求出x0的值；若不存在，请说明理由． |
| 一个盒子中装有4张卡片，上面分别写着如下四个定义域为R的函数：f1（x）=x3，f2（x）=|x|，f3（x）=sinx，f4（x）=cosx现从盒子中任取2张卡片，将卡片上的函数相乘得到一个新函数，所得函数为奇函数的概率是______． |
| 已知f（x）为偶函数且f（2+x）=f（2-x），当-2≤x≤0时，f（x）=2x若n∈N*，an=f（n），则a2007（ ） |
| 定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=-f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=-|x-|+，则f()-f()=（ ） |
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