定义在R上的函数f(x)满足①对任意x,y∈R有f(x+y)=f(x)+f(y)②当x>0时,f(x)<0,f(1)=-2(1)求f(0)值;(2)判断函数f(

定义在R上的函数f(x)满足①对任意x,y∈R有f(x+y)=f(x)+f(y)②当x>0时,f(x)<0,f(1)=-2(1)求f(0)值;(2)判断函数f(

题型:解答题难度:一般来源:不详
定义在R上的函数f(x)满足
①对任意x,y∈R有f(x+y)=f(x)+f(y)
②当x>0时,f(x)<0,f(1)=-2
(1)求f(0)值;
(2)判断函数f(x)奇偶性;
(3)判断函数f(x)的单调性;
(4)解不等式f(x2-2x)-f(x)≥-8.
答案
∵对任意x,y∈R有f(x+y)=f(x)+f(y)
(1)取x=y=0,可得f(0)=0,
(2)取y=-x,可得f(x)+f(-x)=f(0)=0,
所以f(-x)=-f(x),f(x)是奇函数
(3)任取x1<x2
则 x2-x1>0
∴f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1
又∵当x>0时,f(x)<0,
f(x2)-f(x1)<0,
可得 f(x1)>f(x2),
所以f(x) 在R上是减函数 
(4)∵f(1)=-2
∴f(2)=f(1)+f(1)=-4,
f(4)=f(2)+f(2)=-8
∴不等式f(x2-2x)-f(x)≥-8
可化为f(x2-2x)-f(x)≥f(4)
即f(x2-2x)≥f(x)+f(4)
即x2-2x≤x+4
即x2-3x-4≤0
解得-1≤x≤4
故不等式f(x2-2x)-f(x)≥-8的解集为[-1,4]
举一反三
已知函数f(x)=x3+mx,g(x)=nx2+n2,F(x)=f(x)+g(x).
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数F(x)在x=l处有极值为10,求曲线F(x)在(0,F(0))处的切线方程;
(Ⅲ)若n2<3m,不等式F(
1+1nx
x-1
)>F(
k
x
)
对∀x∈(1,+∞)恒成立,求整数k的最大值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=
1
2
x2+(a-3)x+lnx

(Ⅰ)若函数f(x)是定义域上的单调函数,求实数a的最小值;
(Ⅱ)方程f(x)=(
1
2
-a)x2+(a-2)x+2lnx
.有两个不同的实数解,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)在函数f(x)的图象上是否存在不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点的横坐标为x0,有f′(x0)=
y1-y2
x1-x2
成立?若存在,请求出x0的值;若不存在,请说明理由.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
一个盒子中装有4张卡片,上面分别写着如下四个定义域为R的函数:f1(x)=x3,f2(x)=|x|,f3(x)=sinx,f4(x)=cosx现从盒子中任取2张卡片,将卡片上的函数相乘得到一个新函数,所得函数为奇函数的概率是______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知f(x)为偶函数且f(2+x)=f(2-x),当-2≤x≤0时,f(x)=2x若n∈N*,an=f(n),则a2007(  )
A.2007B.
1
2
C.2D.-2
题型:单选题难度:一般| 查看答案
定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=-|x-
1
2
|+
1
2
,则f(
5
2
)-f(
99
2
)
=(  )
A.1B.0C.
1
2
D.-
1
2
题型:单选题难度:简单| 查看答案
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