(Ⅰ)∵f(x)=x3+mx,∴f′(x)=3x2+m. ①当m≥0时,f′(x)≥0恒成立,所以f(x)在(-∞,+∞)上是增函数. ②当m<0时,若f′(x)<0,则-<x<.若f′(x)>0,则x<-,或x>, 所以f(x)在(-,)上是减函数,在(-∞,-),(,+∞)上是增函数; (Ⅱ)∵F(x)=x3+mx+nx2+n2,在x=1处有极值10, ∴F′(x)=3x2+2nx+m. ∴,∴ | 3×12+2n×1+m=0 | 13+n×12+m×1+n2=10 |
| | , ∴m=-11,n=4.或m=3,n=-3. 当m=3,n=-3时,F′(x)=3(x-1)2≥0,函数F(x)在R上是增函数,所以F(x)在x=1处无极值,不合题意. 当m=-11,n=4时,F′(x)=3x2+8x-11=(3x+11)(x-1), 当-<x<1时,F′(x)<0;当x>1时,F′(x)>0. ∴函数F(x)在x=1处取得极小值,符合题意. ∴m=-11,n=4.∴切线方程为11x+y-16=0. (Ⅲ)∵F(x)=x3+mx+nx2+n2, ∴F′(x)=3x2+2nx+m. ∵n2<3m,△=4(n2-3m)<0,∴F′(x)>0, ∴F(x)=x3+mx+nx2+n2在R上是增函数. ∵F()>F()对任意x∈(1,+∞)恒成立,∴k<对任意x∈(1,+∞)恒成立. 设函数h(x)=,则h′(x)=. 设m(x)=x-lnx-2,则m′(x)=1-. ∵x∈(1,+∞),m′(x)>0,则m(x)=x-lnx-2在(1,+∞)上是增函数, 因为m(1)=-1,m(2)=-ln2,m(3)=1-ln3<0,m(4)=2-ln4>0,所以∃x0∈(3,4),使m(x0)=x0-lnx0-2=0 所以x∈(1,x0)时,m(x)<0,h′(x)<0,所以h(x)=在(1,+∞)上递减, x∈(x0,+∞)时,m(x)>0,h′(x)>0,所以h(x)=在(x0,+∞)上递增, 所以h(x)的最小值为h(x0)=, 又因为m(x0)=x0-lnx0-2=0,所以h(x0)=x0, 因为x0∈(3,4),且k<h(x)对任意x∈(1,+∞)恒成立,所以k<h(x)min, 所以k≤3,整数k的最大值为3. |