(1)∵函数f(x)=x3-x, ∴f′(x)=x2-1, 令f′(x)=0,得x=±1, 当x∈[-2,-1]时,f′(x)>0,f(x)递增, ∴f(-2)=×(-2)3-(-2)=-,f(-1)=-+1=. 当x∈[-1,1]时,f′(x)<0,f(x)递减,f(1)=-1=-, 当x∈[1,3]时,f′(x)>0,f(x)递增,f(3)=-3=6. ∴f(x)在x∈[-2,-1]上的最大值为f(3)=6, 要使得不等式f(x)<k-2005对于x∈[-2,3]恒成立, 则6<k-2005恒成立,解得k>2011, 所以最小的正整数k为2012. (2)∵g(x)=f(x)-ax2+x=-, ∴g′(x)=x2-ax,g(1)=-, y=g(x)在(1,g(1))处的切线的斜率为g′(1)=1-a, 故切线方程为y-(-)=(1-a)(x-1), 化简得y-(1-a)x+-a=0,与坐标轴的交点为(0,-),(,0), 又∵a≥2,∴-<0,>0, 所以面积S=×(-)×=(-)2, ∵S为递增函数, ∴当a=2时,面积Smin=×(1-)2=. |