已知函数f（x）=x2-alnx（a∈R）．（1）当a=-1时，求函数f（x）在点x=1处的切线方程及f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）的极值．
题型：不详难度：来源：
已知函数f（x）=x2-alnx（a∈R）．
（1）当a=-1时，求函数f（x）在点x=1处的切线方程及f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）的极值． |
答案
（1）当a=-1时，f(x)=x2+lnx，f′(x)=2x+，（1分）
∴f"（1）=3．
函数f（x）在点x=1处的切线方程为y-1=3（x-1），即y=3x-2（3分）
当x＞0时，f′(x)=2x+＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，
而f（x）的定义域为（0，+∞），则函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），不存在递减区间．（5分）
（2）函数f（x）=x2-alnx（a∈R）的定义域为（0，+∞），f′(x)=2x-，（6分）
①当a≤0时，f"（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；函数f（x）无极值（8分）
②当a＞0时，由f"（x）＞0，得x＞，（9分）
由f"（x）＜0，得0＜x＜，（10分）
∴当x=时，f（x）有极小值f()=a(1-lna+ln2)（11分）
综上，当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）有极小值a(1-lna+ln2)，无极大值（12分） |
举一反三
设函数f(x)=(a＞0)
（1）若函数f（x）在x=-1处取得极值-2，求a，b的值．
（2）若函数f（x）在区间（-1，1）内单调递增，求b的取值范围． |
| 函数f（x）=2x-ln（1-x）的递增区间是______． |
已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（Ⅰ） 若a＞0，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的斜率是1，问：m在什么范围取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x3+x2[+f′（x）]在区间（t，3）上总存在极值？ |
| 已知函数f（x）=（ax2+x）ex在[-1，1]上是单调增函数，其中e是自然对数的底数，求a的取值范围． |
设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a、b、c、d∈R）满足：对于任意的x∈R都有f（x）+f（-x）=0，且x=1时f（x）取极小值-．
（1）f（x）的解析式；
（2）当x∈[-1，1]时，证明：函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直： |
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