(Ⅰ) f′(x)=2ax-=,x∈(0,e]. 由已知f"(1)=2a-2=0,解得a=1,此时f′(x)==. 在区间(0,1)上,f′(x)<0;在区间(1,e)上,f′(x)>0. ∴函数f(x)在x=1时取得极小值. 因此a=1时适合题意. (Ⅱ) f′(x)=2ax-=,x∈(0,e]. 1)当a≤0时,f"(x)<0,∴f(x)在(0,e]上是减函数. 2)当a>0时,f′(x)=. ①若<e,即a>, 则f(x)在(0,)上是减函数,在(,e]上是增函数; ②若≥e,即0<a≤,则f(x)在(0,e]上是减函数. 综上所述,当a≤时,f(x)的减区间是(0,e], 当a>时,f(x)的减区间是(0,),增区间是(,e]. (Ⅲ)当a>时,由(Ⅱ)可知:当x=时,函数f(x)取得最小值,且f()=1+lna. ∵g(x)=-5+ln,∴函数g(x)在区间(0,e]上单调递增. ∴当x=e时,函数g(x)取得最大值,且g(x)max=g(e)=-4-lna. ∵存在x1,x2∈(0,e],使得|f(x1)-g(x2)|<9成立, ∴必有对于x∈(0,e],|f(x)min-g(x)max|<9.又∵a>, 联立得,解得<a<e2. ∴a的取值范围是(,e2). |