已知：y关于x的函数y=（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点．（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣

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已知：y关于x的函数y=（k﹣1）x²﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点．
（1）求k的取值范围；
（2）若x₁，x₂是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x₁²+2kx₂+k+2=4x₁x₂．
①求k的值；
②当k≦x≦k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值．

答案

（1）当k=1时，函数为一次函数y=﹣2x+3，其图象与x轴有一个交点．
当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，
令y=0得（k﹣1）x²﹣2kx+k+2=0．
△=（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k+2）≧0，解得k≦2．即k≦2且k=1．
综上所述，k的取值范围是k≦2．
（2）①∵x₁≠x₂，由（1）知k＜2且k=1．
由题意得（k﹣1）x₁²+（k+2）=2kx₁．（*）
将（*）代入（k﹣1）x₁²+2kx²+k+2=4x₁x²中得：2k（x₁+x₂）=4x₁x₂．
又∵x₁+x₂=

，x₁x₂=

，∴2k

．
解得：k1=﹣1，k2=2（不合题意，舍去）．∴所求k值为﹣1．
②如图，∵k₁=﹣1，y=﹣2x²+2x+1=﹣2（x﹣

）²+

．且﹣1≦x≦1．
由图象知：当x=﹣1时，y最小=﹣3；当x=

时，y最大=

．
∴y的最大值为

，最小值为﹣3

举一反三

如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=

，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；
（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；
（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≦3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．

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如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系h=﹣

（t﹣19）2+8（0≦t≦40），且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？

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如图1，点A为抛物线C₁：y=

x²﹣2的顶点，点B的坐标为（1，0）直线AB交抛物线C₁于另一点C
（1）求点C的坐标；
（2）如图1，平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D，交抛物线C₁于点E，平行于y轴的直线x=a交直线AB于F，交抛物线C₁于G，若FG：DE=4：3，求a的值；
（3）如图2，将抛物线C₁向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线C₂，且抛物线C₂的顶点为点P，交x轴于点M，交射线BC于点N．NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值．

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综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x²+2x+3与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求直线AC的解析式及B，D两点的坐标；
（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A．P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．

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企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y₁（吨）与月份x（1≤x≤6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表：

7至12月，该企业自身处理的污水量y₂（吨）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为

．其图象如图所示．1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：

（元）与月份x之间满足函数关系式：

，该企业自身处理每吨污水的费用：

（元）与月份x之间满足函数关系式：

；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元．
（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出

与x之间的函数关系式；
（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；
（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a﹣30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值．
（参考数据：

≈15.2，

≈20.5，

≈28.4）

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