抛物线y=ax2+2ax-8a(a>0)与x轴交于A、B两点(A在B左),与y轴交于点C ,对称轴与x轴交于点M, 点N为上一点,是以BC为斜边的等腰直角
题型:江苏期末题难度:来源:
抛物线y=ax2+2ax-8a(a>0)与x轴交于A、B两点(A在B左),与y轴交于点C ,对称轴与x轴交于点M, 点N为上一点,是以BC为斜边的等腰直角三角形。 (1)求A、B两点的坐标; (2)判断∠MNB与∠ACB的大小关系,并简单说明理由; (3)求这个抛物线的解析式; (4)在该抛物线上是否存在点P,使△PAC的面积与△MAC的面积相等,如果存在求点P的坐标,如果不存在,说明理由。 |
答案
解:(1)令y=0,即ax2+2ax-8a=0, ∵a>0, ∴x2+2x-8=0, 解得x1=-4,x2=-2, ∴A(-4,0) B(2,0); (2) ∠MNB=∠ACB, 理由:由题知点N是△ABC的外心,∠ANB=2∠ACB,而∠MNB=∠ANB, ∴∠MNB=∠ACB; (3)过点C作CG⊥于点G, ∵△NBC是以BC为斜边的等腰直角三角形, ∴NB=NC,∠MNB+∠CNG=90°, ∵∠NCG+∠CNG=90°, ∴∠MNB=∠NCG, 又∠BMN=∠NGC=90°, ∴△BMN≌△NGC, ∴MN=GC=1,NG=BM=3, ∴OC=4, ∴-8a=-4, ∴a=, ∴y=x2+x-4; (4)存在, ∵△PAC的面积与△MAC的面积相等, ∴点P必在与直线AC平行且过点M(-1,0)的直线上或过点D(-7,0)的直线上。 ①当点P在l1上时,由题l1:y=-x-1, ∴解方程组,得, ∴P1(-2+,1-),P2(-2-,1+), ②当点P在l2上时,由题l2:y=-x-7 ∴得到方程组, ∵x2+x-4=-x-7方程没有实数根 ∴此时点P不存在, 综合①②知存在点P,分别是:P1(-2+,1-) P2(-2-,1+)。 |
举一反三
如图,已知直线交坐标轴于A、B点,以线段AB为边向上作正方形ABCD,过点A、D、C的抛物线与直线的另一个交点为E。 |
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(1)填空:点A的坐标为______,点B的坐标为______,AB的长为______; (2)求点C、D的坐标; (3)求抛物线的解析式; (4)若抛物线与正方形沿射线AB下滑,直至点C落在轴上时停止,则抛物线上C、E两点间的抛物线所扫过的面积为______。 |
如图,抛物线y=ax2-5x+4a与x轴相交于点A、B,且经过点C(5,4),该抛物线顶点为P。 |
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(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标; (2)求△PAB的面积; (3)若将该抛物线先向左平移4个单位,再向上平移2个单位,求出平移后抛物线的解析式。 |
在二次函数y=-x2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如下表: |
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则m、n的大小关系为 |
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A.m>n B.m<n C.m=n D.无法比较 |
请写出一个图像的对称轴为y轴,且经过点(2,-4)的二次函数解析式,这个二次函数的解析式可以是( )。 |
用铝合金型材做一个形状如图1所示的矩形窗框,设窗框的一边为xm,窗户的透光面积为ym2,y与x的函数图象如图2所示。(图中顶点横坐标为1,纵坐标为1.5) |
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(1)写出y与x之间的函数关系式,指出当x为何值时,窗户透光面积最大? (2)当窗户透光面积1.125m2时,窗框的两边长各是多少? |
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